Неудачные попытки датировок “Альмагеста” Причины неудач

§ 1. Датировка сравнением с расчетными каталогами по наиболее быстрым звездам

1. В гл. 1 мы привели алгоритм расчета звездного неба “в прошлое”. Таким образом, мы имеем в своем распоряжении каталог “Альмагеста”, составленный в эклиптикальных координатах в некоторую неизвестную эпоху ta, и совокупность {[K (t)} расчетных звездных каталогов, отражающих реальный вид звездного неба в произвольный момент времени t. Попробуем определить значение ta (время наблюдений), сравнивая положения отдельных звезд в “Альмагесте” и каталогах K (t) и выбирая в качестве оценки ta такое значение t*, при котором “Альмагест” и K (t*) согласуются наилучшим образом. Не уточняя пока критериев качества такого согласования, выясним, что значит “сравнить „Альмагест" и каталог K (t)” (при некотором t). Для этого надо сначала выбрать в каталоге “Альмагеста” и каталоге K (t) одни и те же координаты. При указанном сравнении t выступает в качестве априорной датировки наблюдений, лежащих в основе каталога “Альмагеста”, поэтому мы совместим эклиптику “Альмагеста” и эклиптику каталога K (t)—истинную эклиптику эпохи t. Но это позволяет сравнивать только широты звезд (“Альмагеста” и K (t)). Для того, чтобы сравнить также и долготы, или, другими словами, чтобы наложить звездный атлас “Альмагеста” на реальный звездный атлас эпохи t (в предположении, что t—время наблюдений автора “Альмагеста”), нам необходимо указать на эклиптике “Альмагеста” точку весеннего равноденствия для эпохи t. Эту точку мы выберем так, чтобы средняя ошибка в долготе зодиакальных звезд “Альмагеста” равнялась нулю (при сравнении с долготами соответствующих звезд в K (t) мы пользуемся таблицей традиционных отождествлений звезд “Альмагеста” со звездами современного неба, приведенной в [80]). Выбрать такую точку не составляет труда, поскольку известно [67, 80], что для t = 18, 4 (60 г. н. э.) она совпадает с началом знака Овна на эклиптике “Альмагеста”, а при изменении t смещается со скоростью приблизительно 49, 8" в год (скорость прецессии). Выбирая точку весеннего равноденствия на эклиптике “Альмагеста” указанным способом (он является оптимальным в статистическим смысле), мы все же совершаем некоторую ошибку; ее можно было бы избежать, ограничившись лишь сравнением широт звезд и вообще не сравнивая их долготы. Именно так мы и поступим ниже, в гл. 3-5. Рассуждения же § 1 носят предварительный характер.,

Рис. 3. 1 Рис. 3. 2 2. Выберем для сравнения девять наиболее быстрых звезд, указанных (согласно [80]) в “Альмагесте”. Это звезды, скорость собственного движения которых превышает 1" в год. Вот их список: a Cent (4, 08" в год), о² Еri (3, 68" в год), a Воо—Арктур (2, 28" в год), t Get (1,92" в год), ?СМа— Сириус (1,33" в год), g Ser (1,32" в год), i Per (1,27" в год), a CMi—Процион (1,25" в год), h Cas (1, 22" в год). Все эти звезды входят в “Альмагест” и, согласно традиционным отождествлениям [80], в сквозной нумерации каталога “Альмагеста” имеют следующие номера Байли: 969, 779, 110, 723, 818, 265, 196, 848, 180. Изобразим каждую из этих звезд “Альмагеста” (кроме a Cent — координаты этой очень южной звезды даны в “Альмагесте” с огромной ошибкой в 8°) в виде светлых кружков на чертеже—см. рис. 3. 1-3. 8. На рис. 3. 4, кроме звезды 779 из “Альмагеста”, изображены также соседние звезды 778 и 780 и траектории реальных звезд №№ 1332, 1362, 1363 из каталога [76]. Мы получили, таким образом, изображения восьми маленьких областей на звездном атласе Птолемея (поскольку пользовались при этом координатами “Альмагеста”), причем каждая из этих областей содержит одну из перечисленных восьми быстрых звезд. Кроме того, мы считаем, согласно [80], что все эти восемь быстрых звезд Птолемей действительно наблюдал и они присутствуют на его атласе. Теперь для каждого момента времени t наложим описанным выше способом звездный атлас, построенный по каталогу K (t) и отражающий состояние реального неба в эпоху t, на звездный атлас Птолемея (построенный по “Альмагесту”) и изобразим среди звезд “Альмагеста” наши восемь быстрых звезд. Способ наложения атласа (каталога) K (t) на атлас Птолемея зависит от t и, кроме того, каждая из восьми быстрых звезд меняет свое положе-

ние относительно других звезд каталога K(t) при изменении t, поэтому изображение этих звезд на атласе Птолемея будет также зависеть от t. Таким образом, на атласе Птолемея появятся восемь траекторий, соответствующих смещению наших восьми быстрых звезд при изменении t. Эти траектории изображены на рис. 3.1-3.8.

Б какие же моменты времени t рассматриваемые быстрые звезды ближе всего подходят к своим изображениям на атласе Птолемея? Вообще говоря, для каждой из восьми рассматриваемых звезд этот момент времени свой. Обозначим их t1, t2,...,t8. Если окажется, что все значения t, (I <= i<= 8) или хотя бы значительная их часть близки друг ^к Другу и к некоторому усредненному значению t*, то это будет сильный довод в пользу того, что истинное время наблюдений автора “Альмагеста” близко к t*.

Однако этого не происходит: значения ti хаотически разбросаны по интервалу —70 <= t <=30, т. е. от 1000 г. до н. э. и до 9000 г. н. э.! Сведем для наглядности результаты в табл. 3. 1. Присутствующий в таблице разброс индивидуальных датировок ti не удивителен. Каждая из рассматриваемых восьми звезд представлена в “Альмагесте” с определенной ошибкой; некоторое представление о возможном значении этой ошибки для отдельной звезды дает величина среднего дугового отклонения положений звезд “Альмагеста” в том созвездии, куда входит данная звезда, от их истинных положений. Звезды неба в подавляющем большинстве почти неподвижны, поэтому величина средней ошибки слабо зависит от эпохи, на которую рассчитываются координаты звезд. Для подсчета средней ошибки мы использовали таблицу сравнений положений звезд в “Альмагесте” с истинными положениями на 130 г. до н. э. [80]. Нарисуем вокруг точки, изображающей быструю звезду на атласе “Альмагеста”, окружность (круг точности) с радиусом, равным средней ошибке для созвездия, содержащего нашу звезду (рис. 3. 4-3. 8). Проекция этой окружности на траекторию расчетной звезды, отражающую движение реальной быстрой звезды по небу с течением времени, дает представление о возможной величине отклонения индивидуальной датировки ti

по данной звезде от истинной даты составления каталога. Для именных звезд (Арктур, Процион, Сириус) в качестве радиуса круга точности взято 10' — цена деления шкалы каталога “Альмагеста” (рис. 3. 1-3. 3). 3. В этой ситуации естественно возникает вопрос: может быть, результату по одной (или нескольким) из перечисленных восьми

звезд мы должны доверять больше, чем по остальным звездам? Тогда в качестве оценки даты наблюдений Птолемея мы должны были бы взять датировку именно по этой звезде (или этим звездам), а датировки" но другим отбросить как недостоверные. В качестве таких “надежных” звезд естественно взять те звезды, координаты которых в “Альмагесте” наиболее точны. Но как их выбрать? Можно, конечно, попробовать оценить точность измерений Птолемея для каждой из рассматриваемых звезд, пользуясь последней колонкой в приведенной таблице, т. е. считать, скажем, что координаты звезды о Eri измерены Птолемеем с точностью 5', а координаты Арктура — с точностью 40'. Именно так поступили авторы работы [II], которые пытались датировать “Альмагест” и работали, по-видимому, с тем же списком из 9 быстрых звезд. Тогда датировка получится близкая к традиционной— 50 г. до н. э. (см. табл. 3. 1). Однако тут возникают следующие вопросы. Первый: как могло получиться, что из девяти рассматриваемых звезд все три звезды первой величины, снабженные к тому же собственными именами в тексте каталога (Арктур, Сириус, Процион), Птолемей отметил в каталоге очень грубо (с ошибками порядка градуса), а тусклую и плохо заметную звезду о² Eri (ее величина, согласно современным измерениям, равна 4, 5) он отметил исключительно точно—с ошибкой всего 5'! Это странно потому, что такие звезды, как Арктур, Сириус, Процион, Регул, Спика и т. д. (именные звезды “Альмагеста”) должны были служить “опорными точками” для наблюдателя и точность измерения их координат должна быть особенно высокой (см., например, [63]). В то же время звезда о² Eri ничем не примечательна и окружена такими же тусклыми, как и она сама, звездами. Далее, в “Альмагесте” звезда № 779 (традиционно отождествляемая с о² Eri) описана просто как “средняя звезда”. Поэтому при взгляде на рис. 3. 4 возникает следующий (второй) вопрос: почему звезда № 779 в “Альмагесте”—это о² Eri? Ясно, что такое заключение могло быть сделано только на том основании, что координаты о² Eri и звезды № 779 “Альмагеста” согласуются лучше всего (скажем, лучше, чем координаты о² Eri и звезды № 778). Но тогда это отождествление (о² Eri ==. № 779 “Альмагеста”) существенно зависит от того, каким временем мы датируем наблюдения “Альмагеста”! Например, если бы мы знали, что “Альмагест” написан в 1000 г. до н. э., то отождествили бы о² Eri со звездой № 778 “Альмагеста”, а затем датировали бы “Альмагест”, исходя из минимально возможного расстояния между о² Eri и № 778 этим же 1000 г. до н. э. Заметим, что при таком отождествлении соответствие между координатами звезд “Альмагеста” и координатами отождествленных с ними реальных звезд было бы существенно лучше, чем при традиционном отождествлении. Это хорошо видно на рис. 3. 4. “Зная”, что “Альмагест” написан в 1500 г. н. э., мы могли бы отождествить о² Eri со звездой № 780 “Альмагеста” и датировать его поздним средневековьем или даже будущим временем—см. рис. 3. 4. Это же попросту порочный круг в рассуждениях! Однако даже если отбросить о² Eri, то по оставшимся восьми быстрым звездам “Альмагест” все равно не датируется — слишком велик разброс в датировках по каждой звезде в отдельности. Даже датировки по звездам первой величины (из рассматриваемых 8 звезд) — по Арктуру, Проциону и Сириусу—разбросаны от 400 г. н. э. до 1000 г. н. э. (табл. 3. 1). Кроме того, не следует забывать, что полученные даты (например, 900 г. н. э. для Арктура) представляют собой лишь моменты наибольшего сближения истинного положения звезды с положением, занесенным в каталог. Вокруг этих дат еще необходимо отметить временные интервалы, в которых отклонения указанных двух положений принимали бы допустимые точностью измерений значения. Дело усугубляется также и тем, что в качестве величины точности нужно выбирать не какие-либо усредненные значения, а индивидуальные значения ошибок, совершенных при измерениях рассматриваемых звезд. Итак, сформулируем выводы. 1. Прежде чем использовать координаты отдельной звезды в “Альмагесте” для его датировки, необходимо убедиться, что отождествление этой звезды со звездой современного неба не зависит от априорной датировки “Альмагеста”. Иначе мы придем к порочному кругу. 2. Даже для самых быстрых звезд смещение в пределах исторического промежутка времени мало (см. рис. 3. 1-3. 8), поэтому для датировки необходимо отбирать звезды, представленные в “Альмагесте” достаточно точно. Звезда, движущаяся со скоростью 2" в год, смещается за 100 лет всего на 3, 3'. Поэтому, если мы хотим датировать “Альмагест” по отдельной быстрой звезде с точностью ±300 лет, мы должны быть уверены в том, что данная звезда представлена в “Альмагесте” с точностью 10'. Известно, что реальная точность “Альмагеста” намного ниже [80]. С другой стороны, звезды, представленные в “Альмагесте” с точностью хуже 20', для нас практически бесполезны (интервал датировок по ним не менее 1200 лет). Вопрос выбора точно измеренных Птолемеем звезд подробно обсуждается ниже (гл. 5, 6). § 2. Датировка сравнением с расчетными каталогами по совокупности быстрых и именных звезд 1. В § 1 мы показали, что сравнение “Альмагеста” с расчетными каталогами K (t) по восьми наиболее быстро движущимся звездам не позволяет указать такое значение t*, при котором “Альмагест” и K (t*) согласуются наилучшим образом—для каждой звезды значение t* = ti* свое и разброс значений для различных звезд составляет несколько тысяч лет. Может оказаться, однако, что, расширив выборку и рассмотрев не 8 звезд, а значительно больше, мы получим такой набор индивидуальных датировок {ti*}, значительная часть которого группируется в достаточно узком интервале (нас устроил бы даже интервал величиной порядка 500 лет). В этом случае мы смогли бы извлечь некоторую информацию об истинной дате наблюдений Птолемея ta. Кроме того, расширив выборку, мы получим возможность применить для оценки величины ta стандартные методы математической статистики. Какие еще звезды следует включить в выборку? Ясно, что для целей датировки могут быть полезны лишь достаточно быстро движущиеся и достаточно хорошо измеренные Птолемеем звезды. Эти два условия (скорость собственного движения и точность представления в “Альмагесте”), вообще говоря, дополняют друг друга: чем быстрее движется звезда, тем большую ошибку мы можем допустить для ее координат в “Альмагесте” так, чтобы точность датировки по этой звезде не изменилась. Выберем, пользуясь приведенными соображениями, следующие звезды для сравнения “Альмагеста” и каталогов K (t):: 1) звезды, достаточно быстро движущиеся (в качестве порога скорости возьмем 0, 5" в год хотя бы по одной из экваториальных координат a1900, d1900 эпохи 1900 г. н. э. (см. табл. 1. 1)); 2) “знаменитые” или именные звезды—те звезды, которые имеют собственные имена (табл. 1. 2). Конечно, именные звезды могли получить свои имена и после написания “Альмагеста” (для многих звезд так оно и было). Однако, во-первых,

§ 2. ДАТИРОВКА ПО БЫСТРЫМ И ИМЕННЫМ ЗВЕЗДАМ

собственные имена звезд, по-видимому, не терялись со временем (хотя могли изменяться), т. е. именные звезды времен Птолемея являются именными и теперь; во-вторых, присвоение данной звезде собственного имени говорит о том, что эта звезда имела для древней или средневековой астрономии особое значение (ведь имена звездам присваивались в основном в древности и в средние века). Естественно предположить поэтому что Птолемей также обращал на эти звезды больше внимания, чем на остальные, и тщательнее измерял их координаты. В качестве априорного интервала времени возьмем интервал 0 <=t<=30 (от 1100 г. до н. э. до 1900 г. н. э.). 2. Рассмотрим объединение списков быстрых и именных звезд (см. табл. 1. 1, 1. 2) и выберем из получившегося множества звезд те, которые, согласно [80], входят в “Альмагест”. Получившийся список содержит около 80 звезд. Для каждой звезды из этого списка рассчитаем ее траекторию в координатной сетке (атласе) “Альмагеста” так, как мы это делали в § 1 для восьми наиболее быстрых звезд. Напомним, что для этого мы фиксировали t в качестве априорной датировки и рассчитывали положение каждой звезды в эпоху t в эклиптикаль-ных координатах этой эпохи, которое можно изобразить в виде точки на звездном атласе Птолемея (т. е. атласе, построенном по “Альмагесту”). Меняя значение априорной датировки t в пределах рассматриваемого исторического интервала, мы заставляем эту точку перемещаться по атласу Птолемея (среди звезд “Альмагеста”). По мере того, как меняется t и “расчетная” звезда с номером i движется среди звезд “Альмагеста”, расстояние между ней и той звездой “Альмагеста”, с которой наша расчетная звезда отождествлена (согласно [80]), также меняется. Пусть в момент t* = ti расстояние достигает минимума. Этот момент времени t* мы назвали в § 1 индивидуальной датировкой по данной звезде. При отклонении t от t* как в одну, так и в другую сторону расстояние между расчетной звездой и ее “представителем” в “Альмагесте” начинает увеличиваться. Поставим в соответствие каждой звезде рассматриваемого нами списка интервал априорных датировок [t1*, t2*] = [ti1, ti2] при которых указанное расстояние не превышает 30'. Этот интервал может, вообще говоря, оказаться пустым (так будет, если в момент t* расстояние между расчетной звездой и соответствующей звездой “Альмагеста” окажется больше 30'). Центром интервала является значение t* (см. рис. 3. 9). Граница 30' для дугового расстояния между звездой “Альмагеста” и соответствующей истинной (т. е. расчетной) звездой была выбрана так, чтобы для большинства звезд “Альмагеста” указанное расстояние не превы-

шало этой границы. Действительно, если считать, что среднеквадратичная ошибка в дуговом расстоянии для звезд “Альмагеста” составляет около 40' (что согласуется о исследованиями [80, 33]), то больше половины звезд должно быть представлено в “Альмагесте” с точностью не хуже 30' (в предположении нормального распределения и независимости ошибок по отдельным звездам — ввиду грубости приводимых здесь рассуждений отклонения от этих предположений практически не влияют на наши выводы). Совокупность полученных таким образом интервалов (“интервалов сближения”) изображена на рис. 3. 10 (приведена шкала времени от t = О (1900 г. н. э.) до t = 30 (1100 г. до н. э.)). У каждого интервала отмечен центр, соответствующий “оптимальной” для данной звезды датировке ti, а также точки, для которых расстояние между звездой “Альмагеста” и расчетной звездой составляет 10' и 20' (см. рис. 3. 9). Часть интервала, где это расстояние меньше 10', изображена на рис. 3. 10 более жирной линией. Концы интервалов, попавшие в пределы рисунка, отмечены стрелками.

Многим звездам из нашего списка, объединяющего быстрые и имен-; ные звезды, вообще не поставлен в соответствие интервал на рис. 3. 10 — это значит, что соответствующий интервал либо вообще не существует (расстояние между звездой “Альмагеста” и расчетной звездой всегда больше 30'), либо не пересекается с априорным интервалом 0 <= t <= 30 (выходит за пределы рисунка), либо целиком накрывает априорный интервал. В последнем случае координаты звезды были, по-видимому, измерены достаточно хорошо (с точностью до 30'), но уточнить датировку наблюдений в пределах интервала времени от 1100 г. до н. э. до 1900 г. н. э. по таким звездам не удается. Приведем списки номеров в “Альмагесте” (номеров Байли, см. [80, 65])

тех звезд, 30-минутные интервалы сближения которых накрывают весь априорный интервал 0 <= t <= 30: это звезды №№ 35, 36, 163, 197, 222, 316, 318, 375, 768. Интервалы для многих звезд изображены лишь частично — их часть, выходящая за пределы априорного интервала 0 <=; t <= 30, не попала на рис. 3. 10. Около каждого интервала указан номер соответствующей звезды в “Альмагесте” (в нумерации Байли) и, через знак равенства, — название современной звезды, отождествляемой в [80] с этой звездой и ее собственное имя (если оно есть). Пунктиром отмечен момент t = 18—традиционная датировка “Альмагеста” приблизительно сотым годом н. э. 3. Из рис. 3. 10 видно, что не существует таких значений t (датировок), которые принадлежали бы одновременно всем интервалам. Если увеличивать порог точности (ЗО') и расширять, таким образом, интервалы на рис. 3. 10 (направление этого расширения показано стрелками), то все они начнут пересекаться на уровне t ~= 12 (700 г. н. э.) при величине порога точности около 60' = 1°. При дальнейшем повышении порога точности интервал пересечения будет расширяться в обе стороны от точки t = 12. Однако взять точку t = 12 (т. е. 700 г. н. э.) в качестве приемлемой (по точности) оценки для даты наблюдений автора каталога “Альмагеста” мы не можем. Действительно, то обстоятельство, что пересечение всех интервалов сближения на рис. 3. 10 возникает лишь на пороге точности около 1°, говорит о том, что в нашей совокупности есть очень плохо измеренные звезды “Альмагеста”. Какова именно точность их координат в “Альмагесте”, мы не знаем. Если эту точность оценивать снизу с помощью выборочной среднеквадратичной дуговой ошибки в точке t = 12 (оптимальной), то в качестве порога точности для рассматриваемых звезд придется взять очень большое значение—около 2°. При таком значении порога точности пересечение интервалов сближения (см. рис. 3. 10) накроет весь промежуток времени от 500 г. до н. э. до наших дней. Кроме того, сама дата t = 12 является неустойчивой в том смысле, что при изменении набора рассматриваемых звезд (а произвольность его выбора очевидна) момент датировки может меняться весьма значительно. Ясно, что в такой ситуации говорить о нахождении датировки бессмысленно. 4. Рассмотрим аналогичную процедуру построения интервалов сближения для звезд “Альмагеста” из нашего объединенного списка быстрых и именных звезд, только теперь в качестве расстояния между звездой “Альмагеста” и соответствующей расчетной звездой будем брать широтную невязку—длину проекции отрезка, соединяющего эти две звезды, на меридиан в координатной сетке “Альмагеста” (рис. 3. 11). Выбор в качестве расстояния именно широтной (а не долготной, скажем) невязки обусловлен двумя причинами. Во-первых, известно, что широты звезд “Альмагеста” точнее их долгот (см., например, [80], а также гл. 2). Во-вторых, широтная невязка не зависит от того, каким образом мы совмещаем “Альмагест” и расчетный каталог K (t) по долготам (см. гл. 1) и, следовательно, при этом удается избежать дополнительных ошибок из-за неточностей совмещения.

На рис. 3. 12 изображена получившаяся совокупность интервалов для случая, когда в качестве расстояния берется широтная невязка. При этом вновь не изображены интервалы, целиком покрывающие промежуток 0 <= t<= 30 (от 1100 г. до н. э. до 1900 г. н. э.). Номера в “Альмагесте” тех звезд, для которых 30-минутные интервалы сближения по широте накрывают промежуток 0 <= t <= 30, следующие: 1, 35, 36, 78, 111, 149, 163, 189, 222, 234, 287, 288, 315, 316, 318, 349, 375, 393, 410, 411, 424, 467, 469, 510, 713, 733, 760, 761, 768, 812, 818.

Сравнение рис. 3. 12 и рис. 3. 10 показывает, что широты рассматриваемых звезд в “Альмагесте” существенно более точны, чем их положения на небесной сфере, определяемые как широтой, так и долготой. Именно поэтому на рис. 3. 12 изображены интервалы для большего числа звезд чем на рис. 3. 10. Интервалы сближения для всех звезд на рис. 3. 12, кроме двух звезд в Центавре (935 = 2 g Cent и 940 = 5 q Cent), начинают пересекаться также на уровне t = 12 (700 г. н. э.) при пороге точности 40⁷ (по широте). В целом, несмотря на то, что переход от дуговой невязки к широтной уменьшает ошибки “Альмагеста” и, следовательно, позволяет делать более точные статистические заключения, получающиеся при этом интервалы возможных датировок все еще слишком велики—они накрывают промежуток 4 <= t <=20 (от 100 г. до н. э. до 1500 г. н. э.). Такие интервалы не дают нам достаточно надежной информации о дате наблюдений Птолемея.

§ 3. Датировка сравнением звездных конфигураций

1. В §§ 1, 2 мы пытались датировать каталог грубыми методами, опираясь на различные звездные конфигурации, меняющиеся во времени за счет собственных движений входящих в них звезд. При этом каждую звезду в конфигурации мы рассматривали отдельно, сравнивая ее положение относительно “сферы неподвижных звезд” с положением, приведенным в “Альмагесте”. Чтобы осуществить такое сравнение, нам пришлось использовать теорию Ньюкомба, описывающую движение эклиптикальной системы координат на “сфере неподвижных звезд” с течением времени. Посмотрим, что может дать нам метод датировки “Альмагеста”, не использующий теорию Ньюкомба. Идея такого метода проста: надо сравнивать не положения отдельных звезд на “реальном” (теоретически рассчитанном) небе с их положениями в “Альмагесте”, а геометрию меняющихся за счет собственных движений звездных конфигураций с геометрией неизменных конфигураций из каталога “Альмагеста”. При таком сравнении нам понадобится только знание величины скоростей собственных движений звезд в рассматриваемой конфигурации, но не теория Ньюкомба. Хотя погрешности теории Ньюкомба весьма малы (на несколько порядков меньше цены деления каталога “Альмагеста”), тем не менее с вычислительной точки зрения рассмотрение конфигураций предпочтительнее, прежде всего, в силу простоты вычислений. Собственные движения звезд замерены в настоящее время с большой точностью на основании телескопических наблюдений [74, 76]. Величины скоростей собственных движений звезд и таблица отождествлений звезд “Альмагеста” со звездами современного неба — вот вся дополнительная информация, которая будет здесь использована. Таблицу отождествлений мы заимствовали из [80], отбросив сомнительные случаи, указанные там же. 2. Будем по-прежнему сравнивать положение каждой отдельной быстро движущейся звезды на реальном небе (зависящее от времени) с ее положением в “Альмагесте”. Однако теперь будут сравниваться положения этой звезды (на реальном небе и в “Альмагесте”) по отношению к некоторому множеству опорных звезд, выделенных как на реальном небе, 7 Калашников В. В., Носовский Г. В., Фоменко А. Т. так и в “Альмагесте”. В качестве такого множества мы выбрали множество звезд, которые либо имеют собственные имена (Альдебаран, Ши-ат и т. п.), либо выделяются по яркости среди своего ближайшего окружения. Звезды, на координаты которых могла повлиять рефракция, в список опорных не вошли. Всего было взято 45 звезд. Среди них есть и заметно движущиеся — Арктур, Сириус, Процион, Капелла, Аквила, Денебола, Каф, Регул. Итак, положение движущейся звезды на реальном небе определяется относительно движущегося же базиса и полученная “динамическая” картина сравнивается с соответствующей картиной, зафиксированной в “Альмагесте”. В качестве меры отклонения в таком сравнении возьмем среднее отклонение ДУГОВЫХ расстояний

нимума, будем называть индивидуальной датировкой 'по данной звезде.

Если для всех или большинства быстрых звезд каталога “Альмагеста” значения индивидуальных датировок ti соберутся в достаточно малом

временном интервале, то вблизи этого интервала (или в нем самом) должна находиться и истинная дата ta наблюдений Птолемея. К сожалению, реальное положение дел совсем другое. 3. Были исследованы поведения невязок di (t) для 8 достаточно быстрых звезд, входящих в каталог “Альмагеста”: Капеллы (222), Арктура (110), Аквилы — Альтаира (288), Денеболы (488), Ре-гула (469), Сириуса (818),

Проциона (848), Кафа (189). В скобках указан номер звезды в “Альмагесте” (номер Байли). Мы сознательно выбрали среди быстрых звезд “Альмагеста” лишь “знаменитые” и наиболее яркие и отбросили тусклые—как было отмечено выше, координаты тусклых звезд представлены в “Альмагесте” очень неточно и их включение в выборку может лишь значительно увеличить разброс в индивидуальных датировках. На рис. 3. 13 показано поведение графиков невязок di(t) как функций t для указанных быстрых звезд. Приведен также усредненный график по всем этим звездам—он оказался почти постоянным на всем временном интервале от 1100 г. до н. э. до 1900 г. н. э. (рис. 3. 13, внизу). 4. В ы в о д ы. Отказ от использования теории Ньюкомба не привел к концентрации на оси времени индивидуальных датировок по отдельным звездам. Это говорит о том, что причины, вызывающие такой большой разброс индивидуальных датировок, не связаны с методом пересчета координат на небесной сфере, а кроются только в низкой точности координат, приведенных в датируемом каталоге, возможной неоднородности каталога и т. п. В § 5 этой главы мы проанализируем координаты звезд “Альмагеста” и общую структуру каталога “Альмагеста” с целью выявления всех причин такого рода.

§ 4. Анализ работ, посвященных датировке “Альмагеста” по собственным движениям звезд Проанализируем известные нам попытки различных авторов датировать “Альмагест”, основываясь на собственных движениях звезд. К сожалению, все эти попытки оказались неудачными. Недавно в качестве отклика на публикации [38-44] появились работы Ю. Н. Ефремова и Е. Д. Павловской [11, 12], в которых предпринята попытка подтвердить традиционную датировку звездного каталога “Альмагеста” по собственным движениям звезд. Вывод, сформулированный в [II], таков: каталог “Альмагеста” датируется по собственным движениям входящих в него быстрых звезд началом нашей эры с точностью ±100 лет (буквально: 13 г. н. э. ±100 лет). В более подробной публикации [12] авторы, правда, формулируют свой вывод гораздо более осторожно: “... Звездный каталог „Альмагеста", таким образом, наблюдался в эпоху античности и, скорее всего, Гиппархом. Правда, остается не исключенной возможность, что яркие звезды Птолемей наблюдал сам. Некоторым аргументом в пользу такого предположения являются более поздние (на 2-4 столетия), чем для остальных звезд, эпохи, полученные нами для двух звезд первой величины, имеющихся в нашей выборке: Арктура и Сириуса” [12, с. 189-190]. Однако из содержания работ [11, 12] такой вывод не следует. Проследим вкратце схему рассуждений Ю. Н. Ефремова и Е. Д. Павловской, пользуясь более подробной публикацией [12], хотя все сказанное будет относиться и к работе [II]. Датировка звездных каталогов по методу, описанному в работах [11, 12], основана на сравнении меняющихся со временем конфигураций звезд с соответствующими конфигурациями, зафиксированными в “Альмагесте”. При этом основной вклад в изменение отдельной конфигурации вносит собственное движение одной “быстрой” звезды в данной конфигурации. Поэтому конфигурации, рассматриваемые в [11, 12], называются там “группами” соответствующей звезды (например, “группа Арктура”, “группа т Get” и т. п.). Будем придерживаться такой же терминологии. 1. Датировкой каталога по отдельной конфигурации предлагается считать тот момент времени, для которого совокупность попарных расстояний между звездами в рассматриваемой переменной по времени конфигурации наиболее близка к совокупности попарных расстояний в соответствующей конфигурации, зафиксированной в “Альмагесте” (близость понимается в среднеквадратичном смысле). При этом, естественно, получается не точная дата наблюдений Птоле-мея или другого наблюдателя, составившего каталог “Альмагеста”, а лишь некоторое приближение к этой дате. Спрашивается, какова точность этого приближения? На этот вопрос в работе [12] фактически не дается никакого ответа. Обсуждение вопроса о точности получаемых датировок заменяется апелляцией к графику зависимости величины среднеквадратичного отклонения между совокупностями попарных расстояний в “Альмагесте” и на реальном небе от времени априорной датировки наблюдений автора каталога “Альмагеста”. Авторы пишут: “... эпоха То определяется достаточно уверенно, минимум функции ??r²(t) резкий и глубокий” [12, с. 183]. Однако из рисунка, на который в данном случае ссылаются авторы [12, с. 185, рис. З], следует, что при изменении априорной датировки на 1000 лет величина среднеквадратичного отклонения sqrt(??r²(t)) меняется не более чем на 13' для всех конфигураций, кроме одной—группы о² Eri (об этой группе см. ниже). Цена деления шкалы “Альмагеста” равна 10', а реальная точность координат звезд в “Альмагесте” составляет около 30' (см. [80, 33]). Это значит, что при оценке точности дат, полученных в [12], исходя из минимума среднеквадратичного отклонения для данной группы (конфигурации), мы должны допустить вариацию величины этого отклонения порядка 20'-30', что приводит к интервалам датировки длиной в 2-3 тыс. лет. Другими словами, точность дат, приведенных в [12], имеет порядок 1000-1500 лет (более подробно точность метода, описанного в работах [11, 12], обсуждается ниже). Но датировка наблюдений автора каталога “Альмагеста” с такой низкой точностью не позволяет отделить друг от друга не только традиционные даты жизни Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (П в. н. э.), но даже эпоху Птолемея от наших дней! 2. В работе [12] говорится, что предлагаемый авторами метод датировки звездных каталогов был проверен на трех достоверно датированных каталогах (это каталоги Улугбека, Тихо Браге и Гевелия). Применение метода ко всем трем каталогам дало невероятно точные результаты: даты создания каталогов Тихо Браге и Гевелия были “восстановлены” с точностью до 30-40 лет, а дата создания каталога Улугбека (наименее точного из трех)—с фантастической точностью 3 года! При этом, однако, настораживает то обстоятельство, что каждая из

этих датировок была получена по своей звездной конфигурации: датировки каталогов Тихо Браге и Гевелия — по группе Арктура, а датировка каталога Улугбека—по группе t Get. Другие группы (конфигурации) для упомянутых трех каталогов не рассматриваются вовсе. Более того, свой основной результат по датировке “Альмагеста” авторы получают тоже фактически по одной-единственной конфигурации—группе о² Eri (хотя формально они рассмотрели 13 конфигураций). Эта группа не имеет пересечений с группами Арктура и t Get, на которых “проверялся” метод. Анализ датировок различный каталогов показывает, что во всех случаях выбор конкретной звездной конфигурации для датировки каталога был обусловлен заранее известной авторам датой составления этого каталога. Другими словами, авторы подбирали для каждого каталога свою конфигурацию звезд, лучше всего отвечающую традиционной дате составления каталога. Это, как минимум, значит, что полученные авторами [12] результаты не могут служить независимым подтверждением традиционных дат составления звездных каталогов. 3. Проанализируем датировку “Альмагеста” в работах [11, 12] по группе о² Eri более подробно, поскольку фактически только на этой датировке авторы основывают свои выводы. Эта звезда уже обсуждалась выше (см. § 1). Напомним, что ее отождествление существенно зависит от априорной датировки каталога. Другими словами, ответ на вопрос “кто есть кто в „Альмагесте"” (и есть ли там вообще звезда о² Эридана, а если есть—то какая именно) меняется при изменении априорной датировки каталога. Звезда о² Eri движется достаточно быстро, меняя свое положение на небе, и в процессе этого движения последовательно отождествляется с разными звездами “Альмагеста” (а именно, с тремя из них на историческом интервале—их номера Байли 778, 779, 780). Из них звезда N" 779 традиционно (см. [80]) отождествляется с о² Eri лишь на том основании, что около начала нашей эры о² Eri занимала положение, близкое к звезде. № 779 в “Альмагесте”. “ Однако здесь явно предполагается, что “Альм. агест” датируется приблизительно началом нашей эры. Если же не делать априорных предположений о датировке “Альмагеста”, то сразу же возникают другие кандидаты в “Альмагесте” на отождествление с движущейся звездой о² Eri. Например, на интервале от 900 до 1900 гг. н. э. из звезд “Альмагеста” лучше всего соответствует реальному положению звезды о² Eri звезда № 780. С другой стороны, звезда № 779 в “Альмагесте” также не остается при этом без отождествления. А именно, она может быть успешно отождествлена со звездой 98 Heis [80, с. 117], Более того, именно так (!) отождествлял звезду № 779 Пирс (см. [80]). Отметим, что звезда о² Эридана и ее окружение являются тусклыми звездами (величины 4, 2-6, 3), поэтому единственный способ отождествить их с какими-то звездами в “Альмагесте”—это сравнить координаты. Яркости этих звезд примерно одинаковы, а словесные описания положений в созвездии скупы и крайне туманны, поэтому надежное отождествление этих звезд по другим признакам, кроме координат, невозможно. Приведенное в [12] “доказательство” правильности отождествления о² Eri в каталоге “Альмагеста” основывается на поздних отождествлениях звезд в “Альмагесте”, т. е. фактически на датировке каталога II в. н. э. Применение подобных “доказательств” для независимой датировки приводит к порочному кругу. Итак, звезда о² Эридана принципиально не может служить основой для датировки. Таким образом, в работах [11, 12] фактически сначала априори предполагается, что “Альмагест” датируется началом нашей эры, затем на этом основании авторы приходят к выводу, что “Альмагест” датируется 13 г. н. э. ±100 лет. Это, очевидно, порочный круг} 4. Теперь перейдем к Арктуру—второй (и последней) звезде, обсуждаемой в работе [II]. Отождествление этой звезды сомнений не вызывает. В рассматриваемой работе по Арктуру получена первоначальная датировка: 250 г. н. э. Затем авторы “уточняют” эту датировку и получают для одной из конфигураций 310 г. н. э. ±360 лет. Об этом “уточнении” мы поговорим чуть позже. Сомнительность результатов работ [11, 12] отмечалась и другими авторами. Так, М. Ю. Шевченко [63, с. 184] справедливо пишет, что в работе [11] “каталог относится к I в. до н. э., однако точность, а значит и достоверность этого результата пока оставляет желать лучшего”. С помощью несложных рассуждений легко оценить реальную точность “рационального зерна” метода, описанного в работе [II]. В самом деле. в [11] положение движущейся звезды (скажем, Арктура) в “Альмагесте” определяется относительно звезд некоторого ее окружения (“группы Арктура”). Группа Арктура содержит 11 звезд. Аналогично определяется положение Арктура на теоретически рассчитанном “назад” небе (в эпоху t) Затем эти положения сравниваются. Все звезды “Альмагеста” измерены с какими-то ошибками; это, безусловно, относится и к звездам “окружения”—в частности, к звездам группы Арктура. Предположим на мгновение, что в “Альмагесте” звезды окружения Арктура измерены идеально точно (хотя это, конечно, не так). Даже в этом случае при оценке точности метода ошибку в положении Арктура в “Альмагесте” нельзя считать меньшей 10', поскольку такова цена шкалы звездного каталога “Альмагеста”. (Реально эту границу следует увеличить из-за неточности координат звезд окружения.) При этом ошибка в дуговом расстоянии, используемом в [II], составляет около 14' (если по каждой координате ошибка составляет 10', то для гипотенузы—по теореме Пифагора—она равна 14'). Скорость собственного движения Арктура—около 2" в год. Таким образом, расстояние в 14' Арктур проходит примерно за 420 лет. И это — лишь грубая оценка снизу точности “метода”! В действительности же реальная точность дугового определения Арктура в “Альмагесте” существенно хуже 14', а тусклые звезды окружения измерены еще хуже. Здесь мы, конечно, имеем в виду ошибку в измерении дуговых расстояний. Как мы знаем, широта Арктура в “Альмагесте” измерена достаточно хорошо, но это ни в коей мере не относится к его долготе (см., в частности, исследования Р. Ньютона [33]), а тем более—к обеим координатам тусклых звезд окружения. Следовательно, реальная точность “метода”, описанного в работе [11] {по Арктуру}, значительно хуже 420 лет, и поэтому интервал возможных датировок заведомо шире, чем интервал от 200 г. до н. э. до 700 г. н. э. 5. Прокомментируем теперь предлагаемое в работах [11, 12] уточнение датировки по Арктуру, а именно — 310 г. н. э. ±360. Это уточнение основано на некоторой общей идее, суть которой сводится к следующему. Для целей датировки авторы используют метод наименьших квадратов. Элементарные вычисления показывают, что точность этого метода оценивается снизу величиной индивидуальной ошибки рассматриваемой быстрой звезды, деленной на скорость ее собственного движения. Эта оценка получается в предположении, что окружение рассматриваемой быстрой звезды измерено абсолютно точно. Учет неточности измерений в совокупности с небольшим числом звезд из окружения дает существенную прибавку к ширине интервала датировки. Авторы без всяких оснований заменяют всюду неизвестную им индивидуальную ошибку на среднюю квадратичную. Точность предлагаемого метода моделирования, состоящего в многократном возмущении координат звезд из “Альмагеста” некоторой случайной величиной, “сравнимой” с точностью каталога, ими не оценивается. А между тем он работает лишь в том случае, если в результате случайных возмущений координаты звезд из “Альмагеста” станут близкими к истинным координатам с “заметной” вероятностью. В результате же влияния упомянутой индивидуальной ошибки такое попадание в окрестность истинных координат должно иметь малую вероятность, и в любом случае эту вероятность следует оценить. В работе [12] нет и намека на подобные оценки. Вообще, с точки зрения математической статистики, предлагаемые авторами работ [11, 12] “методы” не выдерживают критики. Авторы [12] заявляют, будто результаты вычислений по другим быстрым звездам (не приведенные в работе) подтверждают выводы, основанные на исследовании о² Эридана и Арктура. Однако это заявление не соответствует действительности. Приведем лишь один яркий пример. Среди быстрых звезд, якобы обработанных авторами в работе [II], содержится знаменитая звезда Про-цион. Наши исследования (см. § 1) показали, что авторы названной работы должны были бы, пользуясь своим методом, получить по Проциону датировку примерно Х в. н. э., которая никак не вяжется с их выводами. В [11] о результатах по Проциону ничего не говорится. Наконец, метод, излагаемый в работах [11, 12], сильно зависит от выбора окружения исследуемой быстрой звезды, т. е. от состава ее группы. Мы проверили, как меняется датировка по группе Арктура в зависимости от выбора различных звезд в этой группе. Оказалось, что при изменении состава группы датировка по Арктуру меняется от 0 г. н. э. до 1000 г. н. э. Выводы. 1. Заявленный в работах [11, 12] результат, на наш взгляд, не обоснован (в частности, приведенные там рассуждения содержат “порочный круг”). 2. Если очистить работы [11, 12] от рассуждений типа “порочного круга”, то их “остаток” не противоречит нашей датировке (см. ниже). 3. Рассуждения авторов об оценке точности их метода (в частности, моделирование поправок к “Альмагесту”) математически безграмотны и, по нашему мнению, бессмысленны.

4. Авторы не рассмотрели Процион, датировка по которому сильно отличается от традиционной. Остановимся еще на одной публикации — [7], затрагивающей вопрос о датировке “Альмагеста”. Ее авторы сообщают, ссылаясь на Галлея, что за время, прошедшее от Птолемея до Галлея (а точнее, до 1690 г.—т. е. до года создания звездного каталога Дж. Флемстида), Арктур сместился на 1, 1° в сторону Девы, и, поскольку за год Арктур смещается на 2, 285", то “разделив 1, 1° на 2, 285 угловых секунд в год, получим 1733 года. Наконец, вычтя 1733 из 1690 (т. е. из года составления каталога Флемстида), получим, что каталог „Альмагеста" составлен в 43 г. до н. э. Ошибка разности координат соседних звезд значительно меньше, чем ошибка самих координат, так как при вычитании уничтожается систематическая ошибка. Поэтому средняя ошибка в положении ярких звезд относительно соседних с ними звезд в „Альмагесте" не превышает 0, 1° (? — Авт.). Это означает, что возможная ошибка датировки не превышает 150 лет” [7, с. 75]. Таким образом, если авторы [11] датируют каталог по Аркту-ру 250 г. н. э. (а после “уточнения”—даже 310 г. н. э.) с точностью ±360 лет, то авторы [7] датируют “Альмагест” (тоже по Арктуру) 43 г. н. э. с точностью ±150 лет. Однако цитированный текст рассчитан на читателей, которые не поинтересуются реальным расположением звезд на небесной сфере. Вычисление авторов работы [7] основано на молчаливом предположении о том, что вектор собственного движения современного Арктура направлен в точности на его положение, указанное в “Альмагесте”. Однако в действительности это не так. На рис. 3. 1 мы приводим истинное направление движения Арктура по отношению к его положению, отмеченному в “Альмагесте”. Отчетливо видно, что Арктур движется заметно “вбок” от положения, отмеченного в “Альмагесте”. Поэтому на 2" нужно делить не 1, 1° (как это делают авторы работы [7]), а существенно меньшую величину, что и дает примерно 900 г. н. э. (конечно, с очень большой ошибкой в силу принципиальной грубости такого метода датировки; обсуждение точности см. выше). Таким образом, ни о каком 43 г. до н. э. (с точностью ±150 лет) не может быть и речи. Отметим, что общая “идея” работы [7] трактовать случайные ошибки в “Альмагесте” как результат собственного движения звезд глубоко ошибочна; абсурдность ее особенно наглядна для медленно движущихся звезд, практически неподвижных. В этом случае деление ненулевой величины ошибки (в определении координат звезды) на практически нулевую скорость движения дает “бесконечно далекую” дату наблюдения. Фраза авторов [7] о точности положения ярких звезд в “Альмагесте”, не превышающей 0, 1°, ни на чем не основана (почему 6', а не 2' или 15'?!). После всего сказанного нами выше о проблеме оценки точности было бы излишним останавливаться здесь на этом вопросе более подробно. Авторы работы [7] не ограничились рассмотрением поведения Арктура. Они предприняли попытку датировки каталога и по другой “быстрой” и знаменитой звезде—Проциону. Цитируем: “Почти такой же результат получается и при датировке каталога „Альмагеста" по собственному движению Проциона, а именно—каталог „Альмагеста" создан в 330 г. до н. э. с возможной ошибкой в 300 лет в ту или другую сторону... Датировка по Проциону является совершенно независимым подтверждением датировки по Арктуру, и обе датировки уводят нас в последние века до нашей эры” [7, с. 75-76]. Однако и здесь, как и в случае с Арктуром, авторы не учли направления движения Проциона. Посмотрим, какую “датировку” мы получим, если, следуя их методу (мы здесь не останавливаемся на критике самого метода, нелепости которого автоматически выявляются всеми предыдущими обсуждениями), провести вычисления аккуратно, учитывая реальное положение звезд на небе. Оказывается (см. § 1), реальная траектория движения Проциона расположена так, что датировка по Проциону дает Х в. н. э.!