АЧС
Сказка о резольвенте
СКАЗКА О ПРЕКРАСНОЙ РЕЗОЛЬВЕНТЕ, О ТРЕХ ДОБРЫХ МОЛОДЦАХ И О ЗЛОМ ВОЛШЕБНИКЕ ИВАН ДЕР МОНДЕ
(Как три вектора один детерминант в нуль обратили)
Как идут две параллели, да не сходятся...
Как стоят два перпендикуляра, да не наклонятся...
(из старинной песни)
В некотором пространстве, в некотором подпространстве жило- было упорядоченное семейство ортонормированных векторов i1, i2, i3. Не было у них ни собственных чисел, ни собственных значений, жили они в чем мать-матрица родила. Из периода в период, от -PI до +PI, гнули братья спины на базисе богатого комплекса, эксплуататора-тунеядца, прожившего всю свою жизнь по принципу наименьшего действия. Не взлюбил их комплекс и начал вытворять над ними свои комплексные штучки: то одну координату отобьет, то другую. Собрались братья, стали совет держать: "Не будет нам житья от этого комплекса. Нет на него никаких ограничений." И решили они обойти все пространства и подпространства все оболочки и многообразия и найти правую систему координат.
Вышли они в чисто потенциальное поле и пошли шагом куда глаза глядят. PI идут, 2*PI идут, 3*PI идут... Глядь: перед ними голубым разрезом на ровной комплексной плоскости струйное течение.
- А не половить ли нам рыбки? - молвил i1.
- Отчего же нет,- сказали братья.
Закинули братья свою видавшую виды ортогональную сеть. Видят - в сети сигма-рыба бьется, человечьим голосом просит:
- Не губите меня, добры молодцы. Я вам еще пригожусь!
Послушались ее братья, выпустили. А сами пошли дальше.
И полпериода не прошли, видят: лежит на траектории малый параметр, худущий-худущий, от голода плачет. Пожалели его братья, накормили его ядрами всвертку. Стал тут параметр расти на глазах. А как достиг экстремальной величины, сказал:
- Я еще вам пригожусь, добры молодцы!
Да пропал, будто и не было его вовсе. А братья дальше пошли.
Долго ли, коротко ли шли, больше нуля, меньше бесконечности, смотрят: стоит избушка на курьих ножках.
- Избушка-избушка, стань к нам плюсом, а к лесу минусом!
Попереминалась избушка с ноги на ногу, да и повернулась. Вошли братья и возрадовались: на столе еда стоит. Сытно поели и спрашивают:
- Есть тут кто?
Слышат - из-под печки слабый голос доносится. Видят - лежит не то вектор, не то скаляр, цепными дробями закованный:
- Привет вам, благородные векторы! Я - добрый волшебник Ади-Аб-Ата-Коши-Мак-Лорен. Вот уж полжизни сижу здесь. Заковала меня злая \/ (Набла)-Яга...
Не успел он договорить - зашумело-засвистело вокруг. "Бежим!"- вскричал Ади-Аб-Ата. Расковали его братья и пустились все вместе наутек. Оглянулись назад: летит по небу прекрасная /\ (Дельта). Ударилась о плоскость, стала на голову и обратилась в страшную \/ (наблу) -Ягу. "Чую, векторным духом пахнет!" Ан векторов и след простыл.
Вывел их Ади-Аб-Ата на геодезическую линию и сказал на прощание: "Спасибо, молодцы. Я вам еще пригожусь!" И пропал, аннулировался.
Прошли братья еще, и увидели они div grad, то-бишь дивный город. И выросли перед ними стены высокие, подобно тому, как растет tg x при x -> PI/2. И расходилось от города сияние лучистое, как расходится гармонический ряд. Но охватывала тот город печаль великая, как охватывает все решения дифференциального уравнения y"+k2*y=0 формула y=c1*cos kx + c2*sin kx, где c1 и c2 - произвольные константы.
Проголодались братья, зашли в харчевню "~U" ("У с тильдой"). Разговорились они с хозяйкой - толстой, дородной Тильдой. И рассказала она им о великом несчастье, постигшем город и его E (эпсилон) -окрестности.
- Долго мы жили счастливо. Но созвал как-то наш король Великий Тензор Дважды Ковариантный и Четырежды Контравариантный бал по случаю совершеннолетия своей дочери красавицы Резольвенты. Приехал граф X в самосопряженной коляске. Приехал князь Синус со своей Синусоидой и другие именитые гости. Дивные звуки k-мерной музыки, исполнявшейся хором высших гармоник в сопровождении ударных поляр, услаждали слух. Весь зал кружился в танце па dt (па-де-те). Вдруг погас свет, замелькали на стенах фигуры Лиссажу... А когда починили пробки, смотрят - нет красавицы Резольвенты... Как показало следствие Центральной Предельной Теоремы, ее похитил злой волшебник Иван дер Монд. Он проник во дворец, нарушив условия Даламбера-Эйлера и совершив подстановку в двойной ряд стражи... С тех пор,- вздохнула Тильда,- стала наша область открытой для всех несчастий.
Крепко запала в душу братьям эта страшная история, и решили они освободить красавицу Резольвенту. Как услышала об этом добрая Тильда, стало ей жалко молодых неколлинеарных векторов. "Вы же совсем единичные,"- вскричала она. Но братья дружно, в один голос ответили:
- Нас мало, но мы образуем базис.
Отправились братья в торговые ряды Тейлора, снарядились, погадали на годографе и тронулись в путь.
Скоро сказка сказывается, да не скоро доказывается... Тяжелые граничные условия не позволили векторам проникнуть в соседнюю область, где господствовало классовое неравенство Коши-Буняковского. И тут перед ними, как из-под земли, вырос Ади-Аб-Ата-Коши-Мак-Лорен. И сказал он братьям:
- Я знаю, что вы задумали. Трудное это дело. Смерть Иван дер Монда в его детерминанте. Детерминант в додекаэдре, додекаэдр в икосаэдре, а икосаэдр привязан тремя узлами к корням полинома Лежандра: один узел простой, другой двойной, а третий логарифмический. Полином тот растет в изолированной точке за 3*9 земель в пространстве великого хана Банаха. И охраняет его чудище Декремент с трансцендентным числом ног. Тот детерминант надо достать и приравнять к нулю. Тут и будет конец Иван дер Монду. Идите по следам матриц, и придете вы прямехонько к изолированной точке.
Пошли братья-векторы по следам матриц и через три периода оказались перед выпуклым непустым множеством, заполненным несжимаемой вязкой жидкостью. Стоят и гадают, как им быть - не знают. Вдруг вынырнула сигма-рыба, хвостом бьет, приговаривает:"Вот я вам и пригодилась!" Перевезла она векторов на другую сторону. Поблагодарили они ее и пошли дальше. Глядь - перед ними разрыв второго рода. А тут, откуда ни возьмись, малый параметр! Ударился о земь, разложился по своим степеням, и перешли по нему братья на другую сторону.
Дошли братья до точки ветвления. Смотрят - столб стоит, а на столбе том написано:
- Направо пойдешь - в бесконечность уйдешь, налево пойдешь - координат не соберешь, прямо пойдешь - транспонируешься!
Подумали братья, подумали, да и пошли в разные стороны.
Рассмотрим вектор i1. Шел-шел i1, видит: перед ним, как из-под земли, неисчислимые орты хана Банаха, все, кроме, быть может, одного, одеты в жорданову форму, подстрижены под скобку Пуассона.
- Ах,- опечалился вектор,- нет со мной моих любимых братьев! Да ничего, i1 в поле воин!
Храбро бросился i1 на врагов. Тут подоспели i2 и i3. И дрогнули супостаты. Пробили братья себе дорогу.
Пошли они дальше. Вдруг слышат страшный рев. Заметались в воздухе вихри, зарезонировало, и появилось перед ними чудище Декремент. Не растерялись братья, набросили на него сеть. Запутался Декремент своими трансцендентными ногами в узлах и издох в страшных мучениях.
Тихо стало в чисто потенциальном поле, только старый полином Лежандра шумел своими ветвями. Подошли братья к изолированной точке, разрыли корни и достали икосаэдр. Вынули они додекаэдр, извлекли детерминант и приравняли его к нулю.
Раздался тут грохот великий, потемнело небо, исчезло солнышко, полетели листья Мебиуса, огненные разрывы молний раскололи небесную сферу Римана. Умер Иван дер Монд. И очутилась перед братьями прекрасная Резольвента, живая и невредимая, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Сказка написана для случая n=3. Но, пользуясь методом математической индукции, читатель без труда обобщит ее на случай любого n.
Замечание 2. Сказка доступна студентам старших курсов и аспирантам механико-математических факультетов, причем знание математической логики и алгебраической топологии не требуется.
Текст набран с:
Математическая школа. Лекции и задачи. VII. Издательство
Московского Университета, 1966.