Блуждания академика среди звезд.

Птолемей перечисляет звезды по созвездиям, переходя от созвездий северного неба к северным зодиакальным созвездиям, затем к южным зодиакальным и затем к остальным видимым южным звездам. Каждую звезду Птолемей идентифицирует по ее местоположению в фигуре созвездия, например "передняя из трех звезд на поясе" Ориона (в современных обозначениях дельта Ориона). Для каждой звезды приводится долгота и широта (эклиптикальные координаты) в виде целого числа градусов и дробной части градуса (0, 1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 5/6). Таким образом, точность измерений теоретически может быть лучше половины цены деления, то есть +/-5 мин (потому что отсчеты идут чаще 10', есть еще 1/4 =15' и 3/4=45'), а не 10' как утверждают КНФ. Однако это далеко не так. На небе сетка не нарисована и опорные координаты известны во времена Птолемея были с некоторой погрешностью. Да и не факт, что приводимые дроби совпадали с рисками отсчетов на армиллярной сфере, с помощью которой, как утверждается, проводились измерения. Есть основания сомневаться в методах измерения Птолемея, возможно, что долгота и широта все же измерялись не напрямую, а пересчитывались из относительных измерений или из экваториальных координат, при этом вносились дополнительные погрешности. Каталог несчетное число раз переписывался, при этом появлялись описки, во многом стимулировавшиеся тем, что цифры записывались греческими буквами. Так, 9 букв использовались для записи единиц, 9 для записи десятков, 9 для записи сотен. Дроби записывались как единица деленное на число плюс два штриха, например: 3/4 = 1/2+1/4=\beta"\delta". Эти штрихи легко терялись и при этом 10 1/4 превращалось в 14, или 11 (в использовавшемся шрифте альфа очень похожа на дельту).

Датировать каталог можно пересчитывая в прошлое известные с большой точностью современные координаты звезд и сравнивая их с Птолемеевскими - при этом используя абсолютные, а не относительные координаты. В этом случае от борьбы с систематическими ошибками не уйти. Для расчетов я использовал прецессионные формулы из книги, предварительно проверив их независимым образом. Данные по Птолемею взял из каталогов НАСА и Захарова (и там, и там были, к сожалению, досадные ошибки, особенно много в каталоге НАСА), выверив их по русскому изданию, и заново проведя отождествление по взаиморасположению звезд. Когда я начинал, у меня не было печатного издания и, столкнувшись с ошибками электронных каталогов, пришлось заниматься таким нудным делом, впрочем, никаких существенных расхождений с русским изданием у меня потом не обнаружилось.

КНФ резко и решительно отбрасывают долготы звезд и берутся датировать каталог лишь по широтам. Я не буду здесь обсуждать это радикальное решение (см. статьи Ефремова здесь или на сервере МГУ , а также [5], [6], [7]), скажу лишь, что для независимой от прецессии датировки (прецессия же однозначно указывает на дату вблизи 50 г.н.э. - см. рис 1) долготы действительно плохо подходят.

Как пишут КНФ: "измерение долгот - дело существенно более сложное, чем измерение широт (требующее помимо прочего наличия часов). Поэтому есть серьезные основания считать долготы измеренными менее точно, чем широты." Я с этим утверждением не совсем согласен, но допустим. Помимо этого, как показал Р.Ньютон, возможно долготы подвергались систематической правке путем прибавления целого числа градусов и 40 угловых минут, с последующим округлением, что нарушило их статистику. По моим оценкам погрешность долгот в каталоге процентов на 40-50 больше, чем ошибка в широтах - примерно 30' и 20'. Роберт Ньютон считает что эта разница 10% - 22 и 20 минуты - но у меня такие числа не получаются ни до, ни после чистки каталога.

Такое разбиение на части делается на основе критерия "доля плохо отождествляемых звезд": "Исходя из этого, можно принять гипотезу, что если та или иная звезда из 'Альмагеста' не получила однозначного (единственного) отождествления, то ее координаты указаны в 'Альмагесте' c достаточно заметными ошибками" (стр. 57). Эта гипотеза не верна. На самом деле, как сами же КНФ и утверждают двумя абзацами выше: "Ситуация особенно усложняется, если исследуемая звезда оказывается в скоплении более или менее одинаковых по яркости звезд. Тогда может возникнуть довольно много вариантов, окончательный выбор между которыми затруднен." Именно в таких случаях чаще всего возникали разногласия между исследователями каталога. Следует отметить, что большинство отождествлений было сделано в XVII-XIX веке, а попробуйте на бумажке пересчитать координаты нескольких тысяч звезд на начало нашей эры, да и константы прецессии и скорость звезд тогда были известны с плохой точностью (или неизвестны вообще). Не учитывалась и систематическая ошибка. Более того, очень часто звезды, измеренные с очень большой погрешностью, идентифицируются однозначно (по яркости, описанию положения, названию). Характерный пример созвездие Центавра (Рис 2, голубыми крестиками с номерами помечены звезды Птолемея),

Но допустим, что источник КНФ (издание Петерса) лучше отражает корреляцию между неоднозначностью и погрешностью. Хотя утверждение КНФ (стр.59), что в том же Центавре 81% неотождествимых звезд, является несколько странным, и показывает насколько можно доверять исследователям XVII-XIX веков. Посмотрите сами на рисунок и посчитайте скольким синим крестикам из 37 нельзя однозначно найти соответствие, вряд ли у Вас получится число большее 10 (27%), и это без учета дополнительной информации о яркости и положении в фигуре. Отгадайте, какое крупное созвездие северного полушария по логике КНФ измерено хуже всего? Оказывается Волопас - а ведь Арктур, по которому, как увидим дальше, строится вся датировка, именно из этого созвездия (Рис 3).

Гипотеза (стр. 71-80) о том, что точность измерения звезд в созвездии коррелирует с числом вариантов координат в разных изданиях, не доступна моему пониманию. Получается, что переписчики и переводчики тщательно перемеряли все звезды, используя инструменты Птолемея с теми же систематическими погрешностями, и потом чуть подправляли некоторые плохо промеренные звезды? На самом деле большинство таких вариантов возникает из-за описок типа описанных выше, из-за применения греческих букв в качестве цифр. Наличие нескольких вариантов позволяет такие описки локализовать. Там, где это не удается, среднеквадратичная погрешность в группе оказывается, естественно, больше, что, по сути, и видят КНФ, хотя точность определения координат звезд записанных без ошибок от этого не меняется.

Кроме того, КНФ предлагают выкинуть из рассмотрения 108 звезд информат созвездий - так называет Птолемей звезды не входящие в основной контур созвездия. Такой шаг тоже представляется сомнительным - после компенсации по зодиакальным звездам систематической ошибки (см. ниже) для всех звезд без информаты у меня получилось среднеквадратичное отклонение 29' а для звезд информаты 33' разница не столь велика и легко объяснима - в информате обычно более слабые звезды, и их труднее идентифицировать (но не измерить). Ну да ладно, я уже почти не удивился, когда обнаружил, что у Птолемея тот самый любимый КНФ Арктур описан как раз таки как информата Волопаса! Но и это не все, на странице 137 утверждается что "Мы рассмотрели в общей сложности 864 звезды [из 1025] из этих областей. По причинам, разъясненным в гл. 2, так называемые звезды-информаты (т.е. не входящие в канонические созвездия) были исключены из рассмотрения. Равно были исключены и звезды-'выбросы', а также неоднозначно отождествляемые звезды". Информат - 108, неоднозначных - 197 (можно посчитать из таблицы на стр 59), остается 720 откуда 864? То есть у КНФ присутствует еще какая-то дополнительная скрытая логика, я ее, к сожалению, не расшифровал и поэтому для расчетов просто использовал все звезды которые смог самостоятельно однозначно отождествить - 986. Как будет видно, на результаты это особенно не влияет, и все ухищрения КНФ с вивисекцией каталога напрасны. А что такое звезды-'выбросы'? Вроде это те, у которых погрешность больше градуса, но как это узнать до выявления систематической погрешности? Утверждается, что такие звезды легко выявляются, но это не так. Удаление таких значений, вообще говоря, некорректно. Так из теории вероятности следует, что при нормальном распределении 4.5% отсчетов будут иметь погрешность больше 2 сигма (около 46 звезд). Если точность каталога 20' и систематическая ошибка в некоторых местах достигает 20' (примерно так оно и есть) ряд звезд (порядка 10-15) совершенно законно должны иметь погрешность более градуса. Легко посчитать что выбрасывание по уровню 2 сигма приводит к занижению оценки стандартного отклонения на 12%. Правда, для каталога Птолемея некоторые основания (из-за небольшой ненормальности распределения, - наличия заметных хвостов в гистограмме ошибок, обусловленных, видимо, описками) для такой процедуры все-же имеются, и я почти готов с ней согласиться, но не до, а после оценки систематической ошибки! (см. ниже).

Ось отсчета задается параметрами g и f. Считаем, что систематическая ошибка в определении широты db_i определяется формулой: db_i(t)=g(t)sin(l_i (t)+f), где l_i - долгота. Методами регрессии анализируя большую выборку, параметры g и f могут быть оценены. К сожалению, формулы получаются весьма громоздкими и я не буду их приводить, отправляю заинтересованных читателей к книге КНФ. КНФ посвящают значительную часть книги выводу формул регрессии для расчета параметров оптимальных синусоид систематических ошибок. Полученные формулы верны, но пользоваться ими надо осторожно. Формулы выводятся в предположении, что кроме синусной, других систематических ошибок нет, поэтому применять выведенные выражения для нахождения g и f можно лишь на больших более ли менее равномерных по долготам массивах данных, когда можно допустить, что мелкие систематические групповые ошибки усредняются.

3) Звезды выборки равномерно распределены по долготам. Но ведь выделяя свои зоны, авторы это условие нарушают. Понятно, что если в выборке звезды сгруппированы вблизи узлов синусоиды, хорошо оценить амплитуду такой синусоиды не удастся. Особенно четко это проявляется для зон B и М. Оценки g при этом получаются смещенными (средние значение ошибок после компенсации систематической не равны нулю) и нарушается условие на странице 132 "из условия E\x_i=0 находим, что предложенная оценка параметра g является несмещенной, т.е. ..." (см. ниже).

Как показал численный анализ данных и некоторые числовые эксперименты, величины параметров синусоид, очень чувствительны к "выбросам". Поскольку я изначально не отсеивал "выбросы", не имея для этого четкого критерия до анализа статистики и учета систематических ошибок, следует оценить, насколько параметры g и f чувствительны к таким "выбросам". Оказывается что весьма чувствительны, так даже одна звезда с погрешностью больше градуса способна сдвинуть оценку g больше чем на 5 минут. Этот вывод согласуется с приведенными выше критическими замечаниями к регрессионным оценкам. Для того чтобы избавиться от этой проблемы, я рассчитывал параметры регрессии в два этапа. Сначала эти параметры рассчитывались по всей выборке. После компенсации найденной систематической ошибки рассчитывалось стандартное отклонение, и пересчитывались параметры регрессии с выброшенными точками с ошибкой больше двух стандартных отклонений.

Обратите внимание, что датируя каталог 900 годом, КНФ по сути увеличивают его систематическую ошибку g в основных зонах - A, B, ZodA, ZodB еще на 3-5 минут, и, тем самым, еще увеличивает полную погрешность каталога, которая складывается из случайной и систематической. Это неестественно. Логично, если систематическая ошибка имеет порядок случайной, как и получается для дат вблизи начала эры при нормальной оценке погрешности, а не в 2,5 раза больше, на чем настаивают КНФ (25' и 10'). Любопытно, что нет никакого особого различия в систематических ошибках для частей неба "слева и справа от Млечного пути" (например параметры для A/ZodA и ZodB практически тождественны). Это опровергает тезис, что они могли измеряться в разные времена года.

Очень четко необоснованность деления проявляется при анализе КНФ каталога Тихо Браге. Остается только восхищаться аккуратности и дотошности этого астронома, который имея по сути те же приборы, добился поразительной точности. Мне стало просто обидно за него, когда я прочитал на стр 193: "Поэтому, несмотря на многочисленные усовершенствования и высокую точность изготовлениия своих приборов, Тихо добился точности измерения, сравнимой по порядку, с точностью 'Альмагеста'." Это сказано о 2'-3' вместо 15'-25'. Как говорит мой шеф: "представьте, что это разница у Вас в зарплате". Такое принижение понятно, ведь хочется доказать что каталоги разделяет всего лет сто. И гистограммы ошибок, и все рассчитанные КНФ кривые систематических ошибок (порядка 1' !) для разных зон у Тихо практически совпадают (стр 195-200). Точнее, графики f(t) для зон восточного полушария отличаются только знаком от графиков для зон западного полушария: мне кажется здесь виноват не Тихо, а КНФ, поскольку, почему-то, у них фаза f(t) скачет при переходе через 90 или -90 градусов, хотя она должна меняться в диапазоне от 0 до 360 или от-180 до -180 градусов. Проверить это не могу, поскольку нет под рукой каталога Тихо Браге, но в таблице на странице 138 для зоны A каталога Птолемея также стоит неверный знак.

Вообще говоря, вся зонная теория к датировке отношения почти не имеет, и в дальнейшем КНФ утверждают, что работают только с областью A. Правда, вычитание систематической ошибки позволяет оценить реальную точность каталога. Эта операция почти не зависит от выбранного интервала датировки, все расчеты для 50 г нэ. Стандартное отклонение вычислялось для каждой области после устранения систематической ошибки (раздельно для каждой зоны по КНФ). Построив гистограмму ошибок можно заметить, что для любой области она довольно сильно отличается от нормального распределения. Причина - дополнительные систематические ошибки и ошибки не связанные с измерениями. Выбросив некоторое количество звезд с погрешностями больше 2s (опасная процедура, но улучшения получаются куда лучше 12%, что говорит о некоторой ее обоснованности, отбрасывание по методу Шовене - выбрасывать данные вероятность появления которых в выборке, оцененная по s, меньше 1/2, здесь не срабатывает - слишком плохи исходные данные) - предпоследняя колонка - можно получить во всех случаях распределение довольно близкое к нормальному, и, таким образом, оценить дисперсию. Однако при этом надо будет иметь ввиду, что поскольку мы выкидываем примерно процентов семь звезд (КНФ ничтоже сумняшеся выкидывают 17%), вероятность большой ошибки составляет порядка 7% и любые доверительные интервалы будут на столько же менее надежны.

Получившиеся оценки близки к оценкам в книге на стр. 138. Так для зодиакальных созвездий и 100 г.н.э. в этой таблице для ZodA g=16.4; f=-21.7, для ZodB g=20.0; f=-23.5 (сравните со 2 - 3 строкой Таблицы 3). Стандартное отклонение для этих зон у КНФ 17.7 и 24 (у меня 20 и 24).

В отличие от КНФ, я зоны B/ZodB и A/ZodA считал отдельно от ZodA и ZodB - непонятно зачем брать пересекающиеся области. Таблица на стр.138 у КНФ иногда заметно отличается, от такой же таблицы в сборнике Историко-астрономические исследования [4], с.153. Например, для С в [4] f =+58 (?), а в [1] f = -122, и наоборот, для A в [4] f = -33, а в [1] f = +34.0 (?). В этом же сборнике [4] помещена статья Ю.Н.Ефремова и М.Ю.Шевченко [5], разбирающая КНФ, в которой приводятся практически те же выводы, что и у меня.

Уже из этого списка следует, что за словом 'называемая', ничего не стоит. КНФ игнорируют Гиады (хоть бы Альдебаран оставили) и Козлят, оставив Козу и самого слабенького Осленка, не замечают Волосы и Ясли. Итак, осталось 12. "Самая яркая из всех звезд, называемая Псом" - священный для Египтян Сириус из созвездия Большого Пса (Птолемей жил все-таки в Александрии Египетской), безжалостно выкидывается, на основании смешной таблицы на странице 147 в которой анализируются погрешности звезд по группам именных звезд и по созвездиям, и влияние на эти группы компенсации систематических ошибок. Особенно смешны физику комментарии к этой таблице, где знаками "<<" помечаются улучшения в пределах статистических 10-30%. На самом деле, какой-то анализ групповых погрешностей, для повышения точности может и нужен, но он требует очень тщательного и взвешенного подхода с расчетом всех погрешностей, оценки статистики, проверки гипотез, и т.д. и т.п. Я не решился встать на этот скользкий путь и уязвимый для критики путь, приведу цитату самих КНФ: "Однако ввиду малочисленности отдельных групп статистическая погрешность оценок g, f, слишком велика чтобы делать на ее основе какие либо заключения." Но ведь делают! И изобретают критерий 10', никакого отношения к каталогу не имеющий (см таблицу с зонными стандартными отклонениями). Поясню немного изобретенный КНФ критерий 50% звезд зоны A имеют погрешность менее 10'. При переводе на обычный язык теории ошибок, это утверждение эквивалентно утверждению - стандартное отклонение (погрешность) в зоне A равна 15' (!), что примерно соответствует действительности (см. Таблица 4, это средне-арифметическое между 17' в A/ZodA и 13' в ZodA). При этом четверть звезд будут иметь даже погрешность менее 5', ну и что - это вовсе не значит, что именно эти звезды измерялись тщательнее, чем остальные.

КНФ долго считали систематические ошибки для разных временных интервалов и разных зон, а теперь предлагают нам воспользоваться постоянными значениями: "Поскольку составляющая g этой ошибки меняется слабо при изменении t от начала нашей эры до средних веков, а к изменению f картина мало чувствительна, возьмем значение g=21' и f=0 градусов". Рис 6)

Но даже такая, сделанная с кучей произвольных допущений, датировка - жульничество! Нетрудно понять, что выбирая такие, независящие от времени значения параметров, закладывается априорная информация (из-за прецессии параметры зависят от времени). Значение g=21' соответствует 400 году, а f=0 вообще 2400г нэ (!). Ни на одном из графиков у самих КНФ на стр. 139, 141-143, ни для одной из зон f не обращается в нуль на всем рассматриваемом ими временном интервале -200-2000 года!

Очевидно, что широта Арктура нечувствительна к g при f=0 (его долгота 177 градусов а sin(177)=0.05) но весьма чувствителен к f, другая быстрая звезда Процион (B=89 1/6), наоборот, чувствительна к g и нечувствительна к f. КНФ утверждают что удаление Арктура не меняет оценку - это происходит, как легко видеть потому, что остается еще специально подобранный Процион (при этом правда умалчивается, что в диапазон датировок попадет любая древняя дата). Приведу оценку распределения звезд Волопаса (23 звезды), в котором живет Арктур. Для 900 года при выбранных параметрах g и f, среднее значение оказывается смещено на целых 5.7 минут - вот где причина уехавшей датировки, а стандартное отклонение 25' - очень велико!

(на графике я считал систематическую ошибку по всем зодиакальным звездам, но ситуация абсолютно не меняется при вычислении по A, или A/ZodA). Прекрасно видно, что Антарес, Спика, Регул, Аселли являются просто балластом. Основную роль играет Арктур и довольно малую - медленные Процион, Капелла и Вега. От датировки 900 годом не остается и следа. По методу КНФ Арктур пересекает ноль ординат в 850 году, а на самом деле в 690-м. Если считать что s=17' для зоны A, только по Арктуру получаем датировку (220-1130) а с учетом кучи допущений этот интервал уширяется еще процентов на пятьдесят. Я хочу еще напомнить, что датировка по уровню сигма по одной звезде означает всего лишь 68% вероятность. Для 680 года при таком методе, для Волопаса смещение среднего практически исчезает - 0.16 (это вовсе не означает что 680 год правильный, просто это центр оценки по одному Арктуру с большой погрешностью), я к этому не стремился, а систематическую ошибку считал по звездам зодиака. Стандартное отклонение, естественно остается тем же - 25', если честно подставить это значение вместо 17' интервал превращается в (0-1350) по уровню 68% и все недоумения растворяются. Хорошо видно, что и гипотеза о 10' точности измерения именных звезд не соответствует действительности - Антарес на всем интервале не хочет подчиняться КНФ (еще раз я просто честно и последовательно следую их рекомендациям).

T= -110 (-95) +- 280

T= -110 +- 220

T= -110 +- 370

T= -130 +- 180

T= 688 +- 427

Я также оценил по формулам КНФ погрешность оценивания параметра g по зодиакальным звездам (формула 5.5.6 стр 132) она у меня получилась чуть больше угловой минуты, что и не удивительно, кривая очень четкая (рис 4) и используется порядка 400 звезд (точность должна улучшаться примерно как корень из числа звезд). Авторов как раз должно было насторожить, почему у них погрешности для g и f получаются по выборкам так велики? Хотя они вроде берут довольно бессмысленные вероятностные интервалы 99%, и даже 99.8% (2.6 - 3 стандартных отклонения), пытаясь, видимо, убедить читателя в необычайной точности и достоверности их метода. Вообще, в физике если погрешность эксперимента оценивается по систематической ошибке - это свидетельствует о некорректной постановке эксперимента, либо о некорректной его обработке (чаще всего так пытаются оправдать неудачный исход эксперимента, когда получается не то что ожидалось).

[3] А.Т.Фоменко, Методы статистического анализа нарративных текстов и приложения к хронологии, М. Изд.МГУ, 1990.