Луканов В.Д.
О решении несуществующих уравнений Ферма
Теорема 2
При любом значении y0 многочлена
всегда найдется такое значение переменной х =x0, которое обращает этот многочлен в квадрат третьего числа z02
Доказательство.
Пусть нашлось такое значение
удовлетворяющее (1) , где k - любое число. Очевидно, что и x может принимать любые значения.
При подстановке (2) в (1) получаем:
Пример: при y0 = 3 и k = 1
из (2) - x0 = 5 ,
из (3) - z0 = 7
Доказательством теоремы 2 утверждается, что многочлен вида неполного квадрата всегда есть полный квадрат, а согласно основной теоремы алгебры, этот многочлен может быть единственным способом представлен в виде :
P(x) = x2 + y0x + y02 = (x - x1)(x - x2)
где x1, x2 - комплексные корни уравнения
x2 + y0x + y02 = 0
Имеются аналогичные решения уравнений:
а также решение уравнения нетрадиционным способом.
В указанных решениях x, y, z и все другие , в том числе и предполагаемые решения - числа взаимно простые,
а случай
,
где x1, … xn корни уравнения
не рассматривался.
При решении уравнений вида (4) при n - нечетном, иногда их необходимо представлять в виде:
а
Методом индукции можно показать, что
Из (5) очевидно, что при любом n - нечетном , числа (x1,x2) (y1,y2) либо взаимно простые, либо имеют один общий нетривиальный делитель, равный n.
Т.е., если решение уравнения (4) найдется, то его можно представить в виде двух систем уравнений:
и
Т.к.
то
Очевидно, что
z и a - числа взаимно простые и степени переменной z в левой и правой части формулы (6) различные.
Правая часть (6) делится без остатка на (z - a) n раз, поэтому уравнение этого вида
должно иметь n корней кратности, а многочлену в левой части соответствует уравнение
имеющее только (n - 1) корней.
Для взаимно простых чисел равенство между (6п) и (6л) невозможно, т.к. нельзя получить многочлен другой степени путем умножения, деления его членов на любое число, в данном случае кратное y.
Значит, равенства типа (6) в уравнениях вида (4), представленных в виде системы двух уравнений
не существует, а следовательно не существует и уравнений вида (4).
Уравнение вида
имеет по два корня в равенстве типа (6), существует и имеет единственное решение в простейшем виде,
(z0=8, y0=7, x0=13)
а также соответствует доказанной выше Теореме 2.
Было также найдено единственное решение уравнения :
соответствующее натуральному ряду чисел, но не характерное для взаимно простых чисел, т.к. 1 не относится ни к простому, ни к составному числу.
Кроме того решение (7-1) не согласуется с указанной Теоремой 2.
Было сделано решение уравнения
в общем виде доступным способом в виде системы двух уравнений в соответствие с разложением (6).
Доказательство в том, что оно не имеет решения, приводится ниже:
Пусть найдется решение (8) в виде :
Поскольку решение (7-1) в простейшем виде единственное
( z0 =18, y0 = 1, x0 = 7),
то (z0 - y0) должно удовлетворять и (9). Однако
Значит в простейшем виде уравнение (8) не имеет решений.
Решение (7-1) - это решение 1-го порядка. Умножая его члены z0 и y0 на
соответственно получается решение 2-го порядка
которое приводится к виду :
Для простоты рассуждений обозначаем y1 = y2, z2 = z1 - y1 .
Аналогично получается решение 3-го порядка:
и так далее …
Таким образом, все решения (7) могут быть представлены в виде характерных решений нечетного (7-1), (7-3), … (7-n) порядка и решений четного порядка (7-2), (7-4) … (7-2n), отличающихся друг от друга тем, что в решениях четного порядка y и z - нечетные и не кратные 3; в решениях же нечетного порядка z - кратно 3, n - нечетное число.
I. Положив, что найдутся решения четного порядка (9) и (7-2n)
из которых находится:
Левая часть (10) делится на 3, тогда и правая часть, представленная в соответствие с разложением (5) , где
делится на 3 по крайней мере два раза, а поэтому или y0, или z 0 кратно 3, что противоречит установленному выше для решений четного порядка (7-2n), для которых ни z 0 , ни y0 не кратно 3.
II. Решения нечетного порядка, удовлетворяющие (9) и (7-n) отличаются от решений четного порядка тем, что у них z 0 - кратно 3, y0 - не кратно 3
Поэтому решения вида (9) и (7-n) на основании (6) можно представить в виде двух систем уравнений
и
Очевидно, что если решения (7-n) и (12) найдутся , то правая часть их кратна 7 согласно полученному выше единственному решению (7-1) и преобразованному решению (7-n).
Но тогда числа x2 и y2 - кратны 7 , и не являются взаимно простыми, что противоречит взаимной простоте чисел x, y, z согласно условия (8).
Таким образом , совместных решений (9) - (7n), (11) - (12) не существует.
Конечно, предложенные решения, в том числе (6) - (7), могут быть подвержены более жесткому анализу.
Имеются также и более совершенные способы решения уравнений (4).
Более подробно доказательство Теоремы 2 и указанные выше преобразования и решения были представлены в 1989 году в АН и МИАН, а в 1990 г. они были направлены в Новосибирский МИФАН .
К сожалению, ни одно из них не было рассмотрено и не дано заключения по существу предложенных решений.
Хотелось бы узнать или услышать Ваши мнения, предложения и вопросы на предложенные решения закрытой почтой по адресу:
249000 г.Балабаново
Калужской области
ул.Пионерская, дом 8
Луканов Василий Дмитриевич.