Потенциальная
Потенциальная функция и потенциал. - Под силой, приложенной к
материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию,
подразумевается такая сила, проекции которой Х, У, Z на оси координат
выражаются производными от некоторой функции и (от координат х, у, z
точки) по соответственным координатам, т.е.
первым, указавшим на существование такой функции, и именно у сил
тяготения, был Лаплас ("Месаniquе сеlеsте"); а самый термин: П. функция
встречается в сочинении Грина: "Аn еssау оn тне аррliсатiоn оf
матнематiсаl аnаlуsis то тне тнеоriеs оf еlестriсiту аnd маgnетisм",
напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первый
ввел это название. Если система материальных точек подвержена только
таким силам, проекции которых на оси координат суть производные по
соответственным координатам от некоторой функции U от координат точек
системы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. То
обстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу таких
сил; дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике и
физике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий закон
изменения живой силы материальной системы, если силы, действующие на
нее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких сил
при бесконечно-малом перемещении системы равняется дифференциалу или
бесконечно-малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, по
общему закону изменения живой силы, равняется бесконечно-малому
изменению dТ живой силы Т системы, то dТ=dU и отсюда Т - U=н, где н
величина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живую
силу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию U -
потенциальной энергией. Равенство Т - U=н выражает, что сумма обеих
энергий остается постоянной при движении, или как говорят: полная
энергия системы остается при движении постоянной. К числу сил, имеющих
потенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания между
двумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны,
направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равны
какой либо функции f(r) расстояния r точек. Потенциал таких
взаимнодействующих сил есть
отталкивания, а нижний (минус) в случае сил притяжения. Например, для
сил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжения
между материальными точками масс м и М равна отношению е мМ к r2,
поэтому потенциал этих двух сил будет
полном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величин
ускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеется
сплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по закону
Ньютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, если
определим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс ("Аllgемеinе
Lевrsатzе in Веziенung аuf diе iм vеrкенrтеn Vеrнаlтnissе dеs Quаdrатs
dеr Еnтfеrnung wirкеndеn Кrаfте"; "С. F. Gаuss Wеrке", т. 5) доказали,
что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размеры
тела не бесконечно-велики и если плотность его нигде не имеет бесконечно
большой величины: а) П. функция V сил притяжения телом точки есть
функция ее координат х, у, z, сплошная и конечная, в) производные ее
положении точки внутри тела; здесь s означает плотность тела в том
месте, где находится притягиваемая точка, м - массу ее. Свойство с
доказано Лапласом, свойство d - Пуассоном. П. функция однородного шара
плотности s, радиуса R и массы М =4/3реR2 на точку массы равной единице
выражается отношением еМ к r (где r есть расстояние точки от центра
шара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения,
действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональна
квадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара была
сосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара на
расстоянии r от центра, то П. функция выражается так: 2реs (R2 - 1/3 r2)
и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину
4/3ерsr, или
шара, которая находится внутри сферы радиуса у. отсюда следует, что тот
слой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, не
оказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемое
однородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическими
сферами или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическими
и подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостей
которого либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полости
нет.