Пусть некий трехмерный энергетический процесс задан в параметрическом виде системой трех действительных функций. Пусть, в частности, таким процессом будет движение материальной точки с массой m в прямоугольных координатах X,Y,Z, параметром изменения которых является время t:

x = x(t), y = y(t), z = z(t),  (1)

При переходе к цилиндрическим координатам проекция траектории материальной точки на плоскость X0Y описываетс полярными координатами и в этой плоскости, естественно, зависящими от времени в данном случае, а координата Z остается неизменной:

, , z = z(t)  (2)

В частном случае может быть z = t. Очевидна неоднородность размерностей по осям в такой системе координат несущественна в математическом смысле, однако в физическом смысле представляется недопустимой. Поэтому уместно с помощью вспомогательной функции соответствия b(t)  координату Z представить в виде:

(3)

и через эту координату выразить две другие:

    и    (4)

Поскольку выражения (4) содержат всю информацию о данном процессе, их можно рассматривать как строго адекватное отображение действительного трехмерного процесса на действительную плоскость. На основании формул Эйлера выражени (4) можно привести к виду:

и (5)

Теперь можно записать комплексную функцию:

, (6)

и комплексно сопряженную с ней:

, (7)

которые являются, таким образом, аналитической формой представления действительного трехмерного процесса. В математическом смысле функция являетс математическим объектом, точно определяющим положение точки в трехмерной системе координат. В физическом смысле эта функция точно определяет положение материальной точки в трехмерном физическом пространстве. Поэтому можно надеяться, что между данной математической моделью и реальным физическим пространством существует строгая адекватность.

На основании известных формул преобразования (прямоугольных координат в цилиндрические) полярные координаты в плоскости X0Y записываются в виде:

,       , (8)

откуда следует:

(9)

Дифференцирование выражения (9) по t сводится к уравнению:

(10)

Пусть теперь выполняются равенства:

и , (11)

где c(t)   и f(t) - некие произвольные функции времени, выполняющие роль соответствующих коэффициентов пропорциональности. Тогда выражение (10) принимает вид:

(12)

и появляетс возможность приравнять коэффициенты при производных:

(13)

и

(14)

Совместное решение этих уравнений приводит к результату:

(15)

В простейшем варианте выбора произвольных функций  c(t)   и f(t)  можно полагать:

и (16)

При этом уместно учесть:

(17)

и

(18)

Тогда равенства (11), с учетом подстановки в них значений (16-18) принимают вид:

(19)

и

, (20)

а интегрирование последних приводит к результату:

(21)

и

(22)

Если систему координат с единой размерностью по осям понимать как физическую систему координат, то исходный трехмерный энергетический процесс в физической системе координат вполне определяется трем действительными уравнениями:

; ; (23)

или одним комплексным:

Проверка - в среде MathCAD 7.0, в файле polisig.mcd.

Изложенное позволяет заключить, что всякий раз, когда математическое решение физической задачи требует использования комплексных функций, решаемая физическая задача является трехмерной.