Разбор метода А.Т.Фоменко по сопоставлению династий

Я позволю себе пойти методом, примененным в критике А.Т.Фоменко М.Городецким – последовательно разберу работу Фоменко, посвященную методу сопоставления династий. Вначале только сделаю несколько общих замечаний.

На первый взгляд метод кажется простым и понятным. Однако оказывается, что реальные династии составить очень сложно – государства дробились и объединялись, многие правители были соправителями, и т.д. Поэтому в методе сразу предложен перебор всех возможных комбинаций – когда учитываются все варианты. Опять же, выглядит логично, я только хочу предупредить читателей: дело в том, что хронисты записывали не время правления (хотя иногда упоминали, сколько кто правил), а когда кто вступил на престол, на какой престол, и когда его оставил. Скажу свое мнение, что, ежели, комбинируя правителей из чужих хроник и подменяя их своими, объявляя кого-то соправителем или узурпатором, они при этом каким-то чудом не изменяли длительности их правлений,– в этом есть что-то мистическое. Но – все возможно. Теперь к работе.

n-мерное Евклидово пространство (Rⁿ )- пространство n измерений (т.е., множество точек, положение каждой из которых задается однозначно набором из n чисел), в котором задано понятие “расстояния” между точками, обладающее тем свойством, что расстояние от a до b равно расстоянию от b до a.

.

“1. Пусть в евклидовом пространстве Rⁿ задано конечное множество точек D и многозначное отображение V: Rⁿ ® Rⁿ, переводящее D в большее (конечное) множество V(D). Например, V может моделировать многократный процесс измерений случайной величины x О D, результаты которого неоднозначны вследствие случайных ошибок; V(D) можно рассматривать как множество значений, полученных в результате измерений. При этом каждое реальное значение x величины x превращается в множество точек V(x), представляющих исходное значение х; каждую точку из V(х) можно рассматривать как приближенное значение для х. При изучении реальных процессов трудность заключается в правильном моделировании (с помощью V) реальных ошибок. Пусть теперь D неизвестно, и мы знаем только множество V(D) “результатов измерений”. Как распознать среди точек V(D) те из них, которые отвечают одной точке из D? Точки, отвечающие одному и тому же реальному значению, назовем дубликатами. Пусть V таково, что V(x) З V(y)= Ж , если x№ y.”

“2. Введем меру удаленности друг от друга точек из V(D), стремясь к тому, чтобы точки, принадлежащие одному и тому же V(x), были достаточно близки в смысле меры l , а точки из разных V(x) и V(y), напротив, были далеки. Пусть a, b О V(D). Фиксируем точку a и построим специальную окрестность H_r, точки a. Будем стремиться к тому, чтобы точка a была центром H_r, а точка b была на границе H_r или близко к границе. Простейший вариант такой: H_r^’ = {с О Rⁿ : |a_i- с_i | Ј |a_i- b_i |, 1 Ј i Ј n}, т.е. H_r^’ - параллелепипед с центром в a, имеющий точку b одной из своих вершин.”

“Для того чтобы эта конструкция стала пригодной для приложений, нужно дополнить ее, чтобы она моделировала механизм ошибок, влияющих на измерения. Ниже мы предъявим такую окрестность H_r (a, b), введем меру l удаленности точек a и b друг от друга, положив в основу определения схему, изложенную в [1], а именно: l (a,b) = vol H_r(a,b)/vol V(D), где vol V(D) - число точек в множестве V(D), а vol H_r(a,b) - число точек из V(D), попавших в H_r(a,b).”

Для простоты рассмотрим одномерную величину, чтобы не увязать сложностях – ясно, что коли метод не верен для одной, то для 15 и подавно. Рассмотрим три “реальных” величины, чьи значения – 90, 100, 110 не важно чего, и все значения с 99,9% укладываются в диапазон ± 5. Допустим, у нас есть три результата измерения – 96, 104, 106. В параллелепипед (в данном случае он превращается в отрезок), построенный на первом и втором, будут укладываться почти все (если брать нормальное распределение) наблюдения первой реальной величины и почти все - второй, а в параллелепипеде на втором (или третьем) их практически не будет. Соответственно, первые два мы объявим далекими, а вторые два– близкими. При этом, вообще говоря, близкие относятся к разным величинам, а далекие – к одной.

“3. Опишем задачу, для решения которой вводится эта мера l . Пусть обнаружен исторический текст, описывающий неизвестную нам династию правителей с указанием длительности их правлений. Является ли эта династия новой, ранее не встречавшейся, или это - одна из известных династий, но описанная в непривычных терминах (видоизмененные имена и т.д.)? Рассмотрим n последовательных разных правителей (р. династию) с истинными длительностями правлений (p₁ , p₂, ... p_n ); часто одна и та же р. династия описывается в разных первоисточниках с разных точек зрения. Но существуют “инвариантные факты”, описания которых мало зависят от автора текста, например, длительность правления: обычно нет особых причин, по которым автор значительно исказил бы это число. Тем не менее часто возникали трудности в вычислении длительностей правлений, приведшие к тому, что в разных документах для одного и того же правителя приводятся разные числа.

Итак, каждый автор, описывая р. династию, p = (p₁ , p₂, ... p_n ), по-своему вычисляет длительности правлений и получает последовательность чисел a = (a₁ , a₂, ... a_n ), где a_i - длительность правления правителя с номером i. Эту последовательность чисел (вектор aО Rⁿ) назовем числовой династией (ч. династией). Другой автор, описывая эту же р. династию, получит, возможно, другой вектор bО Rⁿ. Итак, одна и та же р. династия может изображаться разными ч. династиями.

Пусть D = {p = (p₁ , p₂, ... p_n )} - достаточно большое множество р. династий длины n. Модель (гипотеза): если две ч. династии близки (в смысле меры l ), то они изображают одну и ту же р. династию, являются двумя вариантами ее описания (такие ч. династии назовем зависимыми); если же две ч. династии изображают две различные р. династии, то ч. династии значительно отличаются друг от друга (тогда назовем их независимыми). Перед проверкой модели дадим точное определение l , отождествив множество всех ч. династий, описывающих р. династии из множества D М Rⁿ, с множеством V(D).”

Как конкретный пример, мы имеем n-мерное пространство, где в качестве одно-мерных подпространств выступают длительности отдельных правлений. Проводится сравнение двух династий, для которых находится упомянутая мера удаленности. Если доля династий, укладывающихся в описанный выше интервал, мала (понятие малости, видимо, будет ниже), то считается, что мы имеем разные варианты одной династии. Реальные династии названы р-династиями, их конкретные наблюдаемые записи в хрониках – числовыми, ч-династиями. Мы имеем дело со сложной величиной – династией – состоящей из набора простых – отдельных правлений. В 15-мерном пространстве ( то есть, династии состоят из 15 правлений) династии представлены точками. Каждая числовая династия представляет собой конкретное наблюдение своей “реальной” династии.

“4. Укажем ошибки, чаще всего приводившие к разногласиям в определении длительностей правлений: а) перестановка (путаница) двух соседних правителей, б) замена двух правителей одним, длительность правления которого равна сумме длительностей их правлений, в) неточность в вычислении длительности правления: чем она больше, тем больше и ошибка в ее вычислении. Эти три основных типа ошибок можно описать при помощи подходящего отображения V: D ® Rⁿ. Пусть pО D ; вектор c назовем виртуальной вариацией вектора p, c=v(p), если каждая координата c_i вектора с совпадает либо с одной из следующих трех координат вектора p: p_i-1 , p_i, p_i+1, либо с числом p_i + p_i+1. Ясно, что каждый вектор c = v(p) можно рассматривать как ч. династию, получившуюся из р. династии в результате первых двух типов ошибок: а) и б).”

“Положим V(D) - объединение всех векторов c=v(p), где pО D. Осталось смоделировать ошибку типа в). Пусть на положительной полуоси t і 0 задана кусочно-гладкая функция a (t) і 0 (у нас роль a (t) будет играть плотность вероятностей случайной величины h , см. ниже). Положим H(a (t)) = h(t), где H(s) - монотонно убывающая функция на полуоси s і 0, lim[s® +0] = +Ґ , например, H(s) = 1/s. Если h - дискретная случайная величина, то h(t) тем больше, чем с меньшей вероятностью h принимает значение t. Пусть t - длительность правления, a (t) - число правителей, правивших t лет. В [1], стр. 115, приведена вычисленная автором экспериментальная гистограмма частот. Если t - значение, принимаемое h с большой вероятностью, то амплитуда ошибок h уменьшается (небольшие длительности правлений лучше поддавались вычислению, чем редкие - большие длительности).”

Судя по всему, автор перепутал измерения одной величины и измерения разных величин одной природы. Утверждение, будто часто встречающееся значение величины измеряется точнее, нежели редко встречающееся, сродни утверждению, что поскольку средний рост встречается чаще, его мы замеряем с большей точностью, чем большой или маленький рост. Если бы все записи в хрониках о правлении с одной длительностью относились к одному правлению (реальному), это утверждение имело смысл, а так – это не более чем ниоткуда не следующий постулат.

“ Укажем функцию h(t) для плотности вероятностей случайной величины - длительности правления ([1], стр. 115). Разобьем отрезок (0, 100) целочисленной оси t на отрезки (10t, 10t + 9), 0 Ј t Ј 9. Тогда h(t) = 2 при t = 0,1; h(t) = 3 при t = 2; h(t) = 5 (t-1) при 3 Ј t Ј 9. Рассмотрим в Rⁿ параллелепипед П(a, b)=П, ортогональные проекции p _i = a_i ± (|a_i - b_i| + h(a_i)) которого на координатные оси в Rⁿ задаются отрезками со следующими концами:

м a_i ± (|a_i - b_i | + 2), 0 Ј a_i < 20,

p _i =н a_i ± (|a_i - b_i | + 3), 20 Ј a_i < 30,

о a_i ± (|a_i - b_i | + 5[a_i/10] - 1 ), 30 Ј a_i < 100;

здесь [y] - целая часть числа y. Итак, если 0 Ј a_i < 20, то значения a_i и b_i рассматриваются с точностью до ± 1 (т.е. такова ошибка, допускаемая при их измерении), если 20 Ј a_i < 30, то допустимая ошибка равна ± 3/2 и т.д.”

“Осталось смоделировать то, что факт принадлежности точки с О V(D) к параллелепипеду П можно рассматривать лишь приближенно. Для этого нужно сделать границу П “более размытой”, приближенной. Пусть r - фиксированное число. Рассмотрим вектор pО D, для которого по крайней мере r его координат p_i попали в проекции p _i параллелепипеда П и некоторая виртуальная вариация которого c = v(p) целиком попала в П. Такие векторы pО D назовем r-близкими к П.”

“Окончательно определим окрестность H_r(a, b), взяв объединение П и всех виртуальных вариаций векторов pО D, r-близких к П. В качестве l (a, b) возьмем отношение числа векторов множества V(D), попавших в окрестность H_r(a, b) (при этом не засчитываются виртуальные вариации самих векторов a и b, отличные от a и b) к числу векторов в V(D).”

“ Это число l имеет вероятностную интерпретацию. В самом деле, построим по множеству V(D) функцию j плотности вероятностей. Разобьем Rⁿ на стандартные кубы достаточно малого размера так, чтобы ни одна точка из V(D) не попала на границу какого-либо куба. Если xО Rⁿ - внутренняя точка куба, то положим j (x) = (число точек множества V(D) , попавших в куб)/(число точек V(D)); если x на границе куба, то j (x) = 0. Ясно, что l (a, b) является интегралом от функции j по множеству H_r(a, b) при условии, что H_r (a,b) состоит из кубов нашего разбиения. Поскольку мы моделируем приближенные вычисления, то можно считать это условие выполненным. Число l (a, b) можно рассматривать как вероятность того, что случайный вектор, распределенный в Rⁿ с функцией плотности j , попал в окрестность H_r с центром в a и “радиуса” |b - a| + h(a).”

“5. Для проверки модели п. 3 были использованы хронологические таблицы Ж. Блера [2] и Гинцеля [3], содержащие все сохранившиеся данные о реальных исторических династиях. Мною был составлен полный список всех династий длины n = 15 из истории Европы, Средиземноморья, Ближнего Востока, Египта от 4000 г. до н.э. до 1800 г. н.э. Эти данные были дополнены сведениями из 14 других хронологических таблиц. В получившемся списке D некоторые р. династии представлены несколькими ч. династиями. Укажем основные династии, вошедшие в список D: епископы и папы в Риме, сарацины, первосвященники в Иудее, грекобактрийцы, экзархи в Равенне, все династии Египта, Византии, Римской империи, Испании, России, Франции, Италии, Оттоманской империи, Шотландии, Лакедемона, Германии, Швеции, Дании, Израиля, Вавилона, Сирии, Сициона, Иудеи, Португалии, Парфии, Боспорского царства, Македонии, Польши, Англии. Число векторов в V(D)М R¹⁵ равно примерно 15*10¹¹. Если для какой-то пары a, b О V(D) число l (a, b) мало, то наблюдаемая близость династий a и b - редкое событие, тем более, чем меньше l . В качестве r бралось 1 + 2/3n = 11 по правилу “двух третей”.”

“ Затем был проведен обширный вычислительный эксперимент по определению l (a, b). Результаты полностью подтвердили модель п. 3: для зависимых ч. династий a, b число l колеблется от 10^-12 до 10^-8, а если a и b независимы, то l не меньше 10^-3. Налицо резкое различие (на 5 порядков) между зависимыми и независимыми династиями. Это, очевидно, позволяет решить задачу распознавания ч. династии.

“6. Эксперимент обнаружил несколько особых пар a, b (всего несколько десятков из 10⁶ обработанных пар), считавшихся ранее независимыми, но для которых l (a, b) таково, как и для зависимых пар.

Примеры. 1) Римская империя от 82 г. до н.э. до 217 г.н.э. и Римская империя 270-526 гг. н.э., l = 1,3 * 10^-12. 2) Римско-Германская империя 962-1254 гг. н.э. и империя Габсбургов 1273-1619 гг. н.э., l = 1,2 * 10^-12. 3) Две Римские империи 270-553 гг. н.э. и 962-1254 гг. н.э. l = 2,3 * 10^-10. 4) Империя Карла Великого 681-887 гг. н.э. и Восточная Римская империя 333-527 гг. н.э. l = 8,25 * 10^-9.”

Даже переводить не буду, дам только комментарии. Обработано 1 миллион пар. Составлено полтора триллиона династий. Из этого числа династий попарно можно выбрать 1500000000000*(1500000000000-1)/2 пар ( а вообще-то, поскольку у нас понятие близости некомутативно, то – вдвое больше). Ясно, что один миллион – это такая капля в море, что на основании этого “вычислительного эксперимента” делать хоть какие то заключения просто абсурдно. Это сродни известному примеру, что все числа больше ста ( ну, давайте возьмем много чисел. Любых. Например, все от 1 до 99. Все они меньше ста. Значит, все числа меньше ста. Ну, правда, несколько из рассмотренных нами – например, 200, 300 – почему-то больше, но это либо погрешности измерений, либо свидетельствует об ошибочности существовавших до нашей теории представлений о природе чисел)

Я составил - не 4, правда, а только 3 из упомянутых параллелей. Утверждаю, что сопоставить эти временные интервалы методом Фоменко нельзя, поскольку они содержат разное (в 1,5 – 2 – 3 раза отличающееся) число династий, то есть, относятся к пространствам с разной размерностью. По “похожести” – можно, конечно, на некоторых участках найти корреляцию между графиками (для Германии двух периодов она составляет около 0,45 для наилучшим образом совпадающих участков, для других – меньше, желающим могу прислать соотв. материалы), но это – если стараться ее найти. Так что вывод не корректен. Не “Римско-Германская империя 962-1254 гг. н.э. и империя Габсбургов 1273-1619 гг. н.э., l = 1,2 * 10^-12.”, а “некоторая вариация Римско-Германской империи”. Причем вариация эта от исходной династии достаточно “далека” в смысле l .

7. Все эти результаты были проанализированы так: актором была построена глобальная “Карта” (ГК) всех династий, описанных выше (см. [2, 3]). Для этого на плоскости, вдоль горизонтальной оси времни были отложены (в виде отрезков) периоды правлений всех правителей и даты всех основных событий на интервале 4000 г. до н.э. - 1800 г. н.э. Дата события определяется проекцией точки (отрезка), изображающей это событие, на ось времени. Соправители и одновременные события изображались друг над другом в развертке по вертикали. (Эта “карта” ГК является “полным учебником” по древней и средневековой истории всех перечисленных выше государств и регионов). К ГК была применена методика обнаружения дубликатов: на ГК были отмечены все пары династий (и соответствующих им эпох) a, b для которых l (a, b) мало: имеет порядок от 10^-12до 10^-8 (т.е. дубликаты). В силу подтвержденной модели п.3 малость l указывает на зависимость династий (эпох). Опишем часть Е “карты” ГК на интервале от 1600 г. до н.э. до 1800 г. н.э., регион: Греция, Италия, Германия. Результат дадим в виде строки Е, в которой династии (эпохи) обозначены буквами, причем одинаковыми буквами отмечены дубликаты. Ввиду объемного объема материала приводим только грубую схему (часть ее см. в [1]). Буквы, помещенные в числителе и знаменателе дроби, указывают одновременные эпохи. Итак,

Здесь Е = С₁ + С₂ + С₃ + С₄. С₁ = С₀ + С^’. Итак, все 4 строки С₁, С₂, С₃, С₄ практически одинаковы и для получения всей длинной строки-учебника Е достаточно склеить их друг с другом (по вертикали). Строка С₂ приклеивается к строке С₁ со сдвигом на 333 года, С₃ - к С₁ + С₂ со сдвигом на 1053 года, С₄ - к С₁ + С₂ + С₃ со сдвигом на 1778 лет. Все эти результаты полностью согласуются с хронологическими выводами, полученными в [4].

Итак, строка Е - важнейшая часть ГК - склеена из четырех практически одинаковых кусков и полностью восстанавливается по некоторой своей части С₀, целиком расположенной правее 300 г. н.э. Более того, основная масса информации в С₀ сосредоточена на интервале 960-1700 гг. н.э.

Б = М Т К М Т Н М Т К М Т К М Т (Н/П/Р) М Т М Т Р М Т С_а.

Длина строки Б, измеренная в годах, равна 2300. Итак, полный “учебник” ГК содержит не только укорачивающиеся строки (вида Е и Б), но и изоморфные друг другу (совпадающие) строки значительной длины, традиционно рассматривающиеся как различные эпохи. Общий результат: вся “карта” ГК (а не только строки Б и Е) полностью восстанавливаются по своей меньшей части С₀, расположенной правее 300 г. н.э., причем основная масса событий расположена правее 960 г. н.э. В частности, строка Б практически целиком восстанавливается по части, расположенной на интервале 960-1400 г. н.э.

Метод я уже излагал, позволю себе повториться. Возрастом имени названо количество глав между текущей главой и главой, где это имя в первый раз упоминается. Средним возрастом имени называется сумма возрастов всех имен, встречающихся в данной главе, деленная на их количество. Учитываются еще “вечные имена”, чей возраст линейно растет – например, Яхве, Иисус. Утверждается, что для данного произведения средний возраст имени есть константа – или близок к константе, за вычетом, может быть, некоторой линейной функции, учитывающей “вечные имена”. Если же в графике среднего возраста наблюдается ступенька, то это свидетельствует о дубликате в произведении.

Как показало мое применение этого метода к учебнику истории России за 18-19 века, Россия начала 18 века есть дубликат России конца 18 века. Как нетрудно догадаться, имена в одном народе периодически повторяются, но в разной последовательности и с разной частотой, поэтому нельзя отнести их к “вечным” или учесть какой-либо линейной функцией. Поэтому в любом произведении, описывающем несколько поколений, ступеньки эти будут наблюдаться. За исключением случая, если мы при упоминании о смерти персонажа будем обнулять счетчик его имени. Об этом я и задал вопрос – проводилось ли обнуление. Сам я не представляю, как можно процесс обнуления автоматизировать, особенно с учетом, что могут действовать несколько персонажей с одним именем, так что имею все основания полагать, что таковое не проводилось, а, следовательно, метод является шуткой.

Дело в том, что существует “нормальный”, так сказать, метод сопоставления династий, не требующий столь громоздких построений, в итоге запутавших самих авторов. Мы определяем по хроникам, относимым к одной династии, погрешность в определении дат правлений, разброс, так сказать, значений. По нему определяем – около каждой династии – соответствующий доверительный интервал и среднее значение. Теперь “вбрасываем” в это поле новые династии, и если они попадут в какой-то из интервалов, то делается вывод, что на основе данного метода их различить нельзя, то есть, следует их признать одной. Как показал мой собственный “вычислительный эксперимент”, разброс значений существенно зависит не от длительности правлений, а от древности данной династии. И как раз погрешность можно использовать как косвенную датировку.